Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
ffl- 1 00 (а^г) 2 Aom = j а~'- ]Г с?> cos s(Z.j - La) =
(4.6.11)
(ai < Oj)
{m= 1, 3, 5, 7, ...),
где bm~ коэффициенты Лапласа [см. (4.5.93)].
$ 6.01] ГЛ, В. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 389
Подставляя выражения (4.6.11) в (4.6.10), после преобразо-ваний получим
оо
Л-1 = y ^ cos (sL2-sL,) +
Sen0
ОО
+ 0*? ЛУ* cos [(S + 1) L2 - (S - 1) Lt] +
s=0 oo
+ a4 ?A*'cos K* + 2) Z-2 - (s - 2) /.,] +
s=- 0 00
+ a6 ? cos Ks + 3) I2 - (s - 3) I,] +
s=0
oo
+ a8 ? Л<4) cos [(s + 4) L2 - (S - 4) Lx\ + ... (4.6.12)
Коэффициенты Af\ A^ выражаются формулами a2A^ = c\s) - a2c<g~ " + a4
(c^s-2) + 2c^s)) -
- |-a6(c</-3> + 9c(s-4) + |a8(c(9s-4) + 164s-2) + 18c<9s))-...,
аД11=j 4'1 -1(c f-" + 4'+")+и (4'~!4-34"+4''m)-- Цо* (4-s> + б""-" +
64'+" + <***) + ..., "ИР=rc" - тг"* M"°+c?tu)+ +f-o*(3"s-">+84" + 34-+")-
.... "И?- -пг 4e -f "!(4-1' + 4,+1') + • ¦ •.
¦¦¦¦
(4.6.13)
Формулы (4.6.13) позволяют выписать в явном виде разложение основной
части возмущающей функции с точностью до а8 включительно.
390 ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !§ 6.02
Дополнительные части возмущающих функций R\, 1 и R2, з выражаются
конечными формулами
Л*. 1 = Л [(1 " о2)cos (L, - L2) + a2 cos (L, + L2)], ai
Ri 2 = [(1 - a2) cos (L, - L2) + a2cos (L, •+-
L2)].
at
(4.6.14)
§ 6.02. Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух планет
(случай малых эксцентриситетов и взаимного наклона)
Леверье построил разложение возмущающей функции [25] для двухпланетной
задачи с точностью до седьмых степеней эксцентриситетов орбит и синуса
половины взаимного наклона орбит включительно. Привести полные формулы
Леверье здесь не представляется возможным и заинтересованного читателя мы
отсылаем к трудам [25]. В 1885 г. Боке [26] получил разложение основной
части возмущающей функции А-1 с точностью до восьмых степеней малых
параметров включительно.
Ниже мы приводим разложение возмущающей функции в двухпланетной задаче с
точностью до четвертых степеней малых величин (малыми величинами являются
эксцентриситеты
орбит планет е\ и ег и а = sin у). Для многих задач небесной
механики такая точность вполне достаточна. Математические соотношения и
пояснения, необходимые при использовании разложения возмущающей функции,
можно найти в первом томе трактата Тиссерана [7].
Будем считать, что изучается движение планеты Рг. В таком случае она
является возмущаемой точкой, а планета Р\ является возмущающей точкой.
Тогда возмущающей функцией задачи является функция R\ (4.6.02).
С вышеуказанной точностью разложение R\ по Леверье имеет следующий вид:
? {[(l)"4(2)m(f)! + (3)'"(|l),+(4)m(f)' +
f -- ОО
+ (5)<0 № )2 № + (6><П (тУ + о № + (12>m (т)2 °2 +
+ (13)й(т)!<,! + (17)'''408№ " a2) + [(21)(,') (^)(f) +
+ (22){i) (f) (f )3 + (23)(n (f )3 (f) + (27)(0 (f) (f-) a2] X X cos [(t
+ 1) /j - tO| - Q] - (t + 1) Я.2 + a>2 + fl2] -j-
§ 6.02] ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 391
+ (31)'° (т)2 Й-)2 cos К*+2) -2Q,-(i+2) Я2+2со2+2й2] +
+ (36)'° (a2 cos [г/, - 2Q, - 2W, - tt2 + 2<d2 + 2Q_,] + +(40)(I^-^-^
("2") or2 cos [(1 1) +ajj-T ?2,-2Ni (*" 1) ^2+co2+Q2]+
+ (44)<0 (t)2 a2 cos [(I' " 2) + 2(fll ~ 2iV> " ^ ~ 2) ^ +
+ [(50)<° (f) + (51)(,) (f)3 + (52)'° (f)2(f) + (60)'° (f) a2] X
X cos [i/, - (/ - 1) - co2 - Qj +
x COS [(f + 1) - ш, - ?2, - il2\ +
+ (90)(i) (4^) (if) cos ^ ^ 001 - ^2 ""Ь2ю2 + 2Q2] +
+ (100)<г* (if) cos ^-2ffll - - ^*4" ^ A2+to2+Q2] +
+ (120)(<) f-a2cos [", - 2Q, - 2 tf, - (/ - 1) A, + co2 + QJ +
+ (130)m Ц- a2 cos [(i - 1) /, + co, - ?2, - 2NX - (i - 2) +
X tos [", - (i - 2) A* - 2сог - 2Q2] +
+ [(182)'" (?) (f) + (183)(tm) (f-) (f)' + (184)" (f )* (f)] X
X cos [(/ + 1) /, - CO] - ?2, - (i - 1) Л,2 - co2 - Фг] +
X cos [(/ + 2) /, - 2co, - 2?2, - /Я2] +
+ (200)(<) (?) (^-)3 cos [(/ + 1) /, - co, - ?2, - (* + 3) Я2 + 3co2 +
3Q2] + + (206)(° (у)3(|) cos [(*. + 3) /, - Зсо, - 3Q,-(* + 1) Я2 +
co2+?22]+
+ [(212)c" a2 + (213)U) (|)2 a2 + (214)(0 (^)2 a2 + (218)(V] X X cos [ill
- 2co, - 2 N1 - (i - 2) Я2] +
+(222)(i) (^-) (I) a2 cos [(i+l) со,-3?2,-2JV,-(/-1) Я2+со2+й2]+
392
+(226 + (240 + (250 + (260 + (270 + (290 + (300 + (336 + (340 + (344 +
(352 + (358 + (362 + (366 + (372 + (376
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 6.02
ШЙ)а2с05 [(l'-1) 'l+"l-Ql-2^1-(t-3)*2-CD2-Q2]+ cos [i7, - (Z - 3) К2 -
За>2 - 3Q2] +
Ш ЙТ cos [(l' + ll ~ "i-Qi-(" - 2) Ля - 2ш2 - 2QJ+
(у)2 (у) cos [(/ + 2) /, - 2а), - 2Qj - (/-1) Я2-со2-Q2] + ("2") cos [(i
+ 4) Z[ 3Qj 3a>i 3A,2] +
(t) °2 C0S - 2coi - 2Л/-! - (i - 3) k2 - a>2 - QJ + a2 cos [(1 + 1) - a"!
- 3Q, - 2N{ - (1 - 2) +
Y) cos [j/, - (1 - 4) A,2 - 4ш2 - 4Q2] +
Ш Ш cos t(i + l)/i - coi - - (t-3) A,2-3co2-3Q2] +
("2O (if) C0S ^(I-^2) h - 2coi-2Qj - (i-2) -2cd2-2Q2]+ (4^)-cos [(*' + 4)
/i - 4a), - 4?2( - iT,2] +
Ц-У a2 cos [i/j - 2Qt - 2N{ - (i - 4) k2 - 2co2 - 2Q2] +
\~) (y) °2 cos № + 0 - coi-2^, - (1-3) K2-co2-й2] + (^)2 a2 cos [(1 + 2)
- 2а)! - 4Й, - 2JV, - (1 - 2) Я,] +
a* cos [iZj - 4Qj - 4 JV j - (i - 4) A,2] +
(?) (2-) °2 C0S [(I' + l) ll ~ (r)* " 5Ql ~ iNl ~(i " 3) *2 +
