Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
возмущающей функции через коэффициенты Лапласа:
г*-П 1 1 _2 " L(i) , e2i + el{n " a2 d2bf'} _
[Д ]век - 2 а2 2 0 а2 8 I2 а2 Л + a, da* ) +
в<вп (2bV^ a db\^ a2
Лагранж показал (см. § 8.03), что уравнения для оскулирующих элементов, в
которых возмущающая функция заменена основными членами вековой части
(4.6.27), легко интегрируются.
§ 6.05. Численные методы разложения
возмущающей функции
Хотя аналитические методы разложения возмущающей функции и наиболее общи,
они, как правило, весьма громоздки. Особенно трудоемким делом является
использование аналитического разложения возмущающей функции при
достаточно больших значениях отношения a2/ai (например, в случае "Земля -
Марс" а " 0,6). В таких случаях целесообразнее строить разложения
возмущающей функции численными методами (методами гармо~ нического
анализа).
§ 6.06] ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИЙ
405
Если известны числовые значения элементов орбит двух планет в планетном
варианте задачи трех тел, то возмущающую функцию R [см. формулы (4.6.01)
и (4.6.02)] при некоторых общих предположениях можно представить двойным
рядом Фурье по кратным средних аномалий Mi и М2 или по кратным средних
долгот 1\ и 12:
ОО 00
Я- X S C0S *¦ Sin V*lMl + М*а)],
ftl=0 fcj=-oo
(4.6.28)
где
2П 2n
= J Rcos{kiMi-\-k2M2)dMldM2,
0 0 2я 2 я
а, = И Я sin (klMl + fc2M2) dMi dM2.
о 0
(4.6.29)
Точность представления возмущающей функции разложением
(4.6.28) зависит от точности вычисления коэффициентов Л*,, Вки к, по
формулам (4.6.29). Как указывают Брауэр и Клеменс [2], для вычисления
возмущений в движении Марса, обусловленных притяжением Земли, с восемью
десятичными знаками необходимо знать 8000 значений R. Такие вычисления
возможны лишь на ЭВМ.
Замечание. В дифференциальные уравнения движения входит не возмущающая
функция R, а ее частные производные по координатам либо по элементам.
Разложение этих производных в виде (4.6.28) производится аналогичным
образом.
§ 6.06. Полуаналитический метод Брауэра - Клеменса разложения возмущающей
функции
Существуют различные способы разложения возмущающей функции, основанные
на сочетании аналитических и численных методов. Здесь мы излагаем метод
Брауэра - Клеменса [2]. Имеем
= Ns [1 - 2а cos (?, - Q) + а2\~ * [1-26 cos (?, + Q) + Ъ*\^,
(4.6.30)
где А - взаимное расстояние между планетами Ру и Р2, й! - большая полуось
орбиты планеты Pi (а2 •< Ci, поэтому
406
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 6.0Й
планету Р\ называют внешней),
а =
c~^/c2-q'2
, ь.
' - V Ч2 -
V2
N:
С + л/С2 - q2 '
(4.6.31)
С = Yo + (<7 sin Q)2, 9 sin Q = -'vg , ?cosQ= 1 °°^ .
(4.6.32)
1 -¦
ql
1
q2
(4.6.34)
Yo= 1 + ("of) ~ 2e2 ('^7) ~ 2ei cos Ei + ei cos2 Ei + eJ cos •F. Y2 =
(l7)2*2.
(4.6.33)
f cos .F = 2 e2 - (-J-) cos +
-f 2xi cos/C2cos ?, - - e^sin/CjSin^,
/ sin Z7 = - 2x2e, л/l - e\ sin /С, +
+ 2x2 'sjl-e \ sin cos +
+ 2x2 (if) VO - e?) 0 ~el) cos K\ sin Ei ¦
Здесь E\, E2 - эксцентрические аномалии планет P1 и P2, e\, e2 -
эксцентриситеты их орбит.
Вспомогательные величины щ, к2, Ki, К2 определяются из равенств (см. рис.
65)
к, cos (со, - Nx - K2) = cos (co2 - N2),
щ sin (coj - N1 - K2) = cos ] sin (co2 - N2),
x2 cos (coj - - Ki) = cos J cos (cd2 - N2),
x2 sin (coj - Nx - К1) = sin (co2 - N2).
(4.6.35)
Формулы (4 6.31) - (4 6.35) дают возможность вычислить величину (4 6.30)
для любого момента времени по следующей схеме: если заданы элементы орбит
планет Р\ и Р2, то по формулам (4.6.05) вычисляем Л^, N2, J. Для
заданного момента времени решаем уравнения Кеплера
Е 1,2 - 6i,2sin ¦E'ii2 = Mii2
и находим эксцентрические аномалии Е\, Е2. Далее, используя равенства
(4.6.34), вычисляем / sin/7 и fcosF. Имея эти величины, определяем
сначала Yo и Y2, а далее С, q, Q, после чего из
s 6.06]
ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
407
(4.6.31) определяем а, Ь, N. Окончательно равенство (4.6.30) дает
(a|/A)s.
Однако для определения величины ai/A целесообразнее применять метод
Брауэра - Клеменса [2], который заключается в следующем.
Рассмотрим случай внешней планеты Pi. Разделим отрезок [М\, Mi -(- 2л] на
2п равных частей и для каждого из частных значений средней аномалии М\
решаем соответствующее уравнение Кеплера, в результате чего находим 2п
значений эксцентрической аномалии Е\. Далее по схеме, описанной выше,
находим yo, Y2. С, q, Q, N, а, Ь. Для каждой пары значений Q и b
разлагаем в ряд Фурье по кратным ?2 выражение [1 - 2b cos(E2 -f- Q)~h
b2]~sl2. Для вычисления коэффициентов Фурье используем метод
гармонического анализа.
Первая квадратная скобка в соотношении (4.6.30), [1 - 2acos(?2-
Q)+a2]~s/2 разлагается в ряд Фурье по кратным аргумента ?2- Q при помощи
коэффициентов Лапласа. Далее в этот ряд подставляется 2п значений
величины Q, в результате чего получается 2п рядов, которые должны быть
преобразованы в 2п рядов Фурье по кратным эксцентрической аномалии Е2.
Перемножая 2п значений величины Ns соответственно на 2п рядов Фурье для
