Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Второе решение - функция Лежандра 2-го рода
П"-И)г(1)
-а-11
* et -j- 1 et "f~ 2
¦ а+4->й- (4-5-4°)
§ s.Mi
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
зП
Ряд (4.5.40) абсолютно сходится при |z|> 1. Функции Лежандра
удовлетворяют оценкам
| Ра (cos 0) |< -р
Va
Qa (cos 0) | <
Va sin 0
fan sin 0
Имеют место следующие рекуррентные соотношения-. (a + 1) Яв+1 (z) - (2a +
1) zPa (z) + аЯа_, (z) = 0,
(22 _ i)J^L = azPa (z) - aPa_] (z), dp*+i (*) _ = (a + 1) fa (г).
(4.5.41)
dz
(4.5.42)
При a = n (где n - целое неотрицательное число) функция Лежандра 1-го
рода обращается в полином Лежандра п-й степени (4.5.32).
Полиномы Лежандра можно определить как коэффициенты разложений
п=О
/7=0
(4.5.43)
Первое разложение сходится при 111 < min | z ± Vz2-1 I* второе - при |/|
> шах| z± *Jz2 - 1 |. Функция (1 - 2tz + /2)_'/' называется производящей
функцией полиномов Лежандра.
§ 5.04. Присоединенные функции Лежандра
Определение. Присоединенной функцией Лежандра 1-го рода называется
следующая функция комплексного переменного:
Ра& (z)
1
г (I - Р)
{т=тУ ^(-"¦a+I. 1 - Pi (4-5-44)
Присоединенную функцию Лежандра 1-го рода можно определить также с
помощью соотношения (для целых р)
^am(z) = (-ir(l-zV^^-.
(4.5.45)
372
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Г§ 5.04
Присоединенная функция Лежандра является одним из линейно независимых
решений дифференциального уравнения
о - г2) % - 2гЧГ + [" ("+!) - Т=*\w = 0' (4-5<46)
рассматриваемого в комплексной области, если а + -я<0.
Если а = п, р = т, где п - натуральное, а т = 0, 1, . ., п, г = х, то
гипергеометрический ряд, входящий в выражение присоединенной функции
Лежандра 1-го рода, обращается в обобщенный полином
Рпт М =
_ (-l)m(2n)l .. тр(т-п т-п+ 1 _ 1_\
2пп!(п-т)1 v л) х ^ 2 , 2 , 2 п, у
(4.5.47)
Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют условиям ортогональности
-1
:я я
+ 1
J Pnm{x)Pnk{x)dx =
О, тпф k
2 (n + m) I . (4.5.48)
in+ 1 (га - m)\ ' m -
^ dq> ^ е±'тфе:,:'йфРчт (cos 9) Pnh (cos 0) sin 0 dQ =
0; тфк
4л (n + m)! (4.5.49)
----- m = k.
2n + l (n-m)l '
Важное свойство полиномов Лежандра выражается соотношением
Рп (cos 0 cos 0t + sin 0 sin 9i cos (<p - q^)) = Pn (cos 0) Pn (cos 0,) -
f-
П
+ 2 Z '(ra'^m)) pnm <C0S 0>P(tm) <C0S 0>) C0S " (ф " ф|)- (4.5.50)
m=1
Равенство (4.5.50) представляет собой теорему сложения для полиномов
Лежандра.
Рекуррентные соотношения, интегральные представления и асимптотические
разложения для присоединенных функций Лежандра можно найти в [13], [15].
§ 5.05]
ГЛ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
373
§ 5.05. Сферические функции
Пусть задано уравнение Лапласа
<4-5-51>
Определение. Сферическими многочленами Рп(х, у, г) называются однородные
многочлены переменных х, у, г степени п, являющиеся решениями уравнения
Лапласа (4.5.51).
Уравнение (4.5.51) имеет 2п + 1 линейно независимых решения Рп(х, у, г).
В сферических координатах г, 0, ф (х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф,
г = т cos 0) сферические многочлены имеют вид
Рп (г, 6, ф) = rnYn (0, Ф), О<0<л, 0<ф<2л. (4.5.52)
Определение. Функции К"(0, ф) называются сферическими функциями Лапласа,
или сферическими функциями п-го порядка.
Функция Уп(0, ф) является решением уравнения в частных производных
^ + + -53ПГТ^ + "<"+1>Г."0. (4.5.53)
Сферическая функция п-го порядка Уп(0, ф) выражается формулой
П
Yn (0, ф) = а0Рп (cos 0) + ? (ап cos mq> + bm sin /Иф) Рпт (cos 0),
т=1
(4.5.54)
где ао, аи ..., ап, Ъ\...Ъп - постоянные коэффициенты.
Определение. Функции Yn0 = Pn(cos 0) называются зональными сферическими
функциями, или зональными гармониками. Функции Ynn(Q, ф) = Рпп (cos 0)
cos шр и У*"(0, ф) = = Рпп (cos 0) sin шр называются секториальными
сферическими функциями, или секториальными гармониками, а функции
У пт (9. ф) = Рпт (cos 0) cos тФ> упт (9, ф) = Рпт (COS 0) sin Я1ф
(0 < т < п)
называются тессеральными гармониками. Зональные гармоники обращаются в
нуль на множестве параллелей, разделяющих единичную сферу на зоны:
секторйальные гармоники обращаются в нуль на множестве меридианов,
разделяющих сферу на п секторов, а тессеральные гармоники равны нулю и на
множестве параллелей и на множестве меридианов,
3?4
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
IS 5.05
Свойства ортогональности сферических функций на единичной сфере
выражаются равенствами
Л 2л
5 \ Yn0(Q)Yk0(Q)sinQdQd4> = о о
5 5 Упп (9, ф)^(0, ф) sin 0 dQ dtp =
о о
Я 2 Я
5 5 увл(0. ф)П*(0, ?)sin0d0^ =
О о Я 2я
^ § Ynm (0,ф)П.(0, <p)sin0d0d<p = O
О,
4я
Я 2я
n=?k, 2п+ 1 ' n==fe>
О, я=^=?,
2я
2/i + 1 О,
2я ¦ (2/i)!
2/i + ft '
, Я = А, n=?k, n = k.
о о
Я 2я
J J Уят(0, ф)У*,(8. q>)sin0d0rtp
о о
где бпц - символ Кронекера [14],
2тс (п + m)I , ,
~2^+~1 (п - т)! 0"ft°/w>
(4.5.55)
Я 2я
j \ Y'nm (в, ф) Yks (0, ф) sin 0 dQ d<p = 2^ 6"*6-
о о я 2л
J J М0. ф)^ (0. Ф)эт0^0йф =
пфр,
(4.5.56)
tstt[2"! + t К" + " = />•
L m=l J j
Теорема. Всякая непрерывная и дважды дифференцируемая с непрерывными
производными функция f(Q, ф), определенная на единичной сфере, разложима
