Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с каноническими элементами Якоби и Делоне в задачах небесной
механики (при малых эксцентриситетах и наклонах) применяются каьонические
элементы Пуанкаре.
12 Под ред. г. Н. Дубошина
354
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЙ
К 4.0*
Первая система канонических элементов Пуанкаре-.
Pi.^V^O -д/1 ~el)'
р*. ft = V^aft(! -4) (1 - cos ik), h = nk{t - rft) + nk,
(r)i. ft = ^ft"
- Qft, nk = -
ш2,4 :
•2
^ft
(4.4.16)
(k= 1, 2........n - 1).
Вторая система канонических элементов Пуанкаре: = д/"
А-ft = n* (/ - тй) -f я*, ll.ft = V2pl.ft COSCOi.t,
4i.* = V2pilftsin(olifc,
?z. ft = V2рг, ft cos o)2, ь,
Чз.*= V2p2.ftSin(o2ift,
nk =
^ft
(4.4.17)
(fe = 1, 2...n-1).
Формулы (4.4.17) выражают элементы второй системы Пуанкаре через элементы
первой системы. Связь между элементами второй системы Пуанкаре и
кеплеровскими оскулирующими элементами относительного движения дается
соотношениями
^k~^J^kak >
Si.ft^VWSTO-Vl"- еО cosnft. h. ft = V2 V^ftaftO _еЮ 0 ~C0SI'ft) cos Qft.
Л* = nk (t - rA) + я*,
'n,.a=-V2 С1 V1 4) sinnft.
тцA = -V2 V^aft(l "eft) 0 -c°40sinQft (A = l. 2________n- 1).
(4.4.18)
в 4.08] ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 353
С помощью элементов (4.4.16) и (4.4.17) уравнения возмущенного движения
точек Ри Рз, .... Рп-\ можно написать в виде
dLk
dF
dp^зk
dF
dpi, ft
dF
dt d\k ' dt dai.k ' dt da>2, ft '
dlk dF dai, ft dF . d(s>2, ft dF.
dt dLk ' dt dpi, ft ' dt dp2, ft
(6=1, 2, ..., n- l);
dLk dF dl i, ft dF dh.-k dF
dt d\k * dt 3t1i, ft ' dt ^Лз, ft '
dX k dF dili, ft dF di\2, ft dF
dt dLk ' dt dh, ft ' dt dh.k
(fc=l, 2,
1).
(4.4.19)
(4.4.20)
где гамильтониан F выражается соотношением (4.4.14).
Канонические системы уравнений (4.4.08), (4.4.15), (4.4.19),
(4.4.20) имеют порядок 6п - 6 и определяют (если воспользоваться
формулами § 3.09) положение точек Р\, Р2..........Рп-1
в координатной системе Рохуг. Если движение точки Р0 в абсолютной системе
известно, то легко определяется абсолютное движение всей системы п
материальных точек.
§ 4.08. Уравнения возмущенного движения в переменных
Лагранжа для случая малых эксцентриситетов
Второе и пятое уравнения системы (4.4.06) имеют особенности при ев = 0 (s
= 1, 2, ..., п- 1), поэтому их использование в случае эксцентриситетов,
близких к нулю, затруднительно. Для устранения этих особенностей Лагранж
предложил вместо оскулирующих элементов еа, ns (s = 1,2, ..., п - 1)
ввести переменные hs, ks по формулам
hs - es sin 'j
ks=escosns > (4.4.21)
(s = 1, 2....n- 1) J
Введем теперь вместо систем эллиптических кеплеровских элементов as, es,
is, fis, es (s = 1, 2......n-1) новые си-
стемы оскулирующих элементов as, hs, is, Qs, ks, es. В этих элементах
уравнения возмущенного движения системы материаль-
12*
356 ч- IV- ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
ных точек Р\, Р2.....Рп-1 относительно Ро имеют вид
das
д R"
dt nsas des '
dhs л/l -h]-k2s (dR
dt
dls
n Ж
d Rt
\dk, 1 + V1 - hl - *2 de'
)
+
ks tg-
nA V1 -
dRs ,2 dis
dt
dQs
"X лА"
' A*- Sin's
tg T
й?3с
и + Г\ & V. 5 dhs
Ms V1 _ hs ~ ks
1 dRs
- (b iEL - h dRs I dR-
2 I s ^S ДА I
d*
dk.
Sini's
м2
/ад.
^/c
+
dR,
)-
Mef
dRs
"."sV
des
"ЗД,
*T
d/
fis^s dcts +
1 -dRs
<3/c
M* V1
V'-As-^
1Л <?A5 + ^ <?*s J 1
[§ 4.09
(4.4.22)
"X 0 + V1 - *1 - *2 )
В уравнениях (4.4.22) возмущающие функции /?а (s = 1,2,... ..., п-1)
должны быть выражены в виде функций переменных CLS, fls, is, ks, Es И t.
§ 4.09. Уравнения в переменных Лагранжа для случая малых наклонов
Устранить особенности is = 0 (s = 1, 2, ..., п - 1) в третьем и четвертом
уравнениях системы (4.4.06) можно при помощи введения переменных Лагранжа
ps, qs по формулам
Ps = tg h sin 'J
<7s = tgiscosQ5 I (4.4.23)
(s== 1, 2....n - 1). J
В новых переменных.aSt et, p*, q^y я*, es уравнения возмущенного
§4.101 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 357
движения системы материальных точек Р\, Рц, тельно Р0 имеют вид das 2 dRs
~df
. . , Рп-1 относи-
de.
^Es
dR,
.V1-'
dR,
dt
dPs
dns
2\3Л
(l+P^ + 9?) J
dqs
nsal
V1 -
el
dtls
Ps 0 + Ps +
dR,
dt
dn.
de,
)•
dt
des
dt
nsa1
____ _________ ____________________^
nsfls V1 - es О + V1 + Ps + ) dtls
(l + P? + чТ)1' dRs dps
qs(l+p*s + ql) (dRs ^ dR
nsa] (l + V* + Pi + "I ) K dn> dRs J '
1 (dR dRs\
V** dps ^ dqs)^~
1 +Р* + ч1
2 dR.
l+P* + ?s
nAes
fl$Os dug
dR*
nsal
x(p*
dps
d^ dqs .
d*s\, q* dqs) +
1 + V1 +Ps + 4s
dRs
des
X
(4.4.24)
"."К!+v^f) *¦
(s= 1, 2...n- 1). J
Как и в случае (4.3.29), не следует путать переменные Лагранжа ps (s = 1,
2, ..., n^l) с фокальными параметрами конических сечений. В уравнениях
(4.4.24) возмущающие функции Rs должны быть выражены в виде функций
переменных es, Ps, Qs, я.ч, Er и t.
§ 4.10. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа (общий
случай)
Для случая малых эксцентриситетов и малых наклонов (еа " 0, is " 0, s =
1, 2, ..., л - 1) удобнее рассматривать вместо оскулирующих элементов es,
