Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
водную -qt заменяют по формуле ----^-sint.
§ 3.05. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских оскулирующих
элементов
Если в качестве оскулирующих элементов принять а, е, i, Я, я, е, причем
во все время движения эксцентриситет e(t)<C 1, то для них
дифференциальные уравнения имеют вид
da____2 dR
dt па де '
de Vl - е2 dR е2 dR
dt паге dn na2 (l + Vl - e- ) de '
te-
dl = 1________ dR e2 (dR , dR}
dt na2^\-e2 sin t dQ, na2^l-e2 4<3я de J '
dQ ____________1______dR_ | (4.3.15)
dt na3 -у/l - e2' sin i di
dn _ tB2~ dR , Vl-e2 dR
dt na2 Vl - dt na2e de ' j
de _______2 dR , tgY dR , e Vl - e2 dR
dt na da na2 Vl - e2 di na2 (l + Vl - e') de J
Иногда вместо первых двух уравнений системы (4.3.15) рассматриваются
уравнения для среднего движения п и параметра р орбиты:
dn ___ 3 dR
dt a1 de '
dp _ 2 Vl -e2 / dR , dR \ dt na \dn de J"
Вторым из этих уравнений можно также заменить либо первое, либо второе
уравнения системы (4.3.15).
S 3.06) Гл. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 339
Уравнение для элемента е можно заменить уравнением, определяющим среднюю
аномалию в эпоху М0:
dMa
1-е2 dR
dt
де
2 dR па da
Если вместо элементов М0 или е берется средняя аномалия М или средняя
долгота I, то следует пользоваться одним из уравнений
de
dM ______________________2 dR 1 - е2 dR
dt na da n
_________]______________________
dt na da na-
*"T
dR
• Vi - '
dR
V1 -
e- di
na2 (1 + Vl - e2) de
(4.3 16)
В формулах (4.3.15) - (4.3.16) возмущающую функцию следует выразить через
используемые в уравнениях оскулирующие Элементы. Замечание из § 3.04
относится также и к уравнениям (4.3.15).
§ 3.06. Уравнения возмущенного движения для канонических элементов Якоби
Если движение точки происходит под действием притяжения центрального тела
и потенциальной возмущающей силы, то помимо оскулирующих элементов р, е,
i, ?2, со, т часто пользуются каноническими элементами Якоби а\, а2, аз,
Pi, Рг, Рз, связанными с первыми элементами соотношениями
ц (е2 - 1) /-
Щ = ¦¦ 2р ~ * "2 = "VHP, "з:
Pi = - т, р2 = со, Рз = ?2.
Формулы обратного перехода имеют вид
; VVp
cos
'I
(4.3.17)
-f -V
1 -f
2a,a
12
cos I ¦¦
(4.3.18)
a2
t = -Pi, ffl = p2, й = Рз-
Частные производные возмущающей функции R по элементам выражаются
следующими равенствами:
dR
др
dR
dR
да.
№
dR ц dR |ха3
da2 2а2 dai 2а2
де
dR
да
"W*
dat а2 у
2°iaz
да dR
ар21
dR
dQ
dR
dp3
dR dR ---------------
- = - - di da3
dR dR
dx 3Pi
(4.3.19)
340
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
И 3.08
В элементах Якоби уравнения движения точки имеют канонический вид
dR da2 _ dR dai dR
dat dt <?p, ' dpi _ dR dt dai '
dt
d?2
dR
dt
dPa
<зр3
dR
(4.3.20)
dt
da2
dt
da3
В конкретной задаче необходимо представить R в виде функции элементов
Якоби. Заметим, кроме того, что если R = 0 (в невозмущенном движении), то
элементы Якоби являются произвольными постоянными, появляющимися при
интегрировании задачи двух тел методом Гамильтона - Якоби.
§ 3.07. Уравнения возмущенного движения для канонических элементов Делоне
Делоне предложил ввести систему канонических элементов:
(4.3.21)
Z, = Vlia, G = Viia (1 - е2), Н = У[ш (1 - е2) cosi, |
A = Q.
Переменные (4.3.21) называются каноническими элементами Делоне.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения точки в элементах Делоне
имеют вид
dL dR' dl dR*
dt dl ' dt dL
da dR* dg dR*
dt dg ' dt dG
dH dR* dh dR*
dt dh ' dt dH
R' = & + *•
(4.3.22)
R - возмущающая функция.
Элементы Делоне можно использовать только для описания движений
эллиптического типа.
§ 3.08. Две системы канонических элементов Пуанкаре
Первая система канонических элементов Пуанкаре:
L - л/ца, А, = / + л = nf -j- в,
Pi = У(*а (l - Vl - е2), Ш] = - л, (4.3.23)
р2== Vna (1 ~ в2) (1 ~ cos i), со2 = - Я.
$ 3.08] ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 341
В элементах (4.3.23) уравнения возмущенного движения точки имеют вид
dL
dR*
dp
dR'
dt
dh
dt
dK
dR'
dt da i ~df
да I
dR'
dp2
dt
dco}
dt
dR* da2
dR*
(4.3.24)
dL ' dt dpi ' dt dpi '
Вторая система канонических элементов Пуанкаре:
L = V I А. = / + л,
li = V2pi costO!, Т), = V2Pi sinmb
?2 = V2P2 cosm2( T)2 = V2P2 Sin m2.
(4.3.25)
В элементах (4.3.25) уравнения возмущенного движения точки имеют вид
dL _ dR* dh _ dR* dtf*
dk ' dt ~ dr], ' dt ~ dr\2 '
__ dR^ diu '___________dlV_ drfc___________dR^_
dt - dh
dt
dk
dt
dL '
dt
dh '
(4.3.26)
В уравнениях (4.3.24) и (4.3.26) функция R* выражается равенством
(4.3.22), с той лишь разницей, что возмущающую функцию R необходимо в
одном случае выразить через элементы первой системы Пуанкаре, а во втором
случае - через элементы второй системы Пуанкаре.
Замечание 1. Канонические элементы Пуанкаре могут применяться только для
описания движений эллиптического типа.
Замечание 2. Элементы Делоне и первая система Пуанкаре обладают некоторой
однородностью: элементы L, G, Н\ L, pi, р2 имеют размерность
секториальной скорости, а элементы I, g, h, К, coi, 0)2 являются угловыми
