Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
-4-
I 32
i) &2 - ?l
Vi
_ a(i)llZlIl 4. a(i) ^2 - Л| I (i) .Sz - Si,
u!3 D I "2.4 D I u33 ^
13 ? 1 "23. .J?
(i=l, 2).
Приближенное выражение для силовой функции двух тел следующее:
2R3
А\ + В1 -f- С; - ЗЗ' 1
2ЯЭ
Если At = Bit то U
(4.2.14)
/т,т2 D-Ь fm 1 (^2 - ^2)
1 - 3v? 1 - 3v?
+ (C, -A) -2-^. (4.2.15)
§ 2.04. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в
абсолютной прямоугольной системе координат
Если направление осей собственной для тела Mt системы координат
совпадает с главными центральными осями
инерции этого тела, то полная система дифференциальных уравнений
поступательно-вращательного движения системы абсолютно твердых тел Мй,
М\, ..., Мп-\ имеет вид [12]
d2h __ ди dt2 ' dh ' d2t\l dU
m.
m' dt2 d^ '
d2Zt . _ dU m' dt2 dt,i '
dp. (dU dU \ sin ф,
~di ~~ С^ qiTl ~ - C0S ^ 5фТ J sin d,
, dU
+ C0S - ~Щ '
dq. / dU dU \ cos ф,
B' ~dt (°l - ') Г'Р' == ~ C0S ^ ~dy^) sTrT^" "
dU
Sln ' d&i '
dr, dU
(i = 0, 1, ..n- 1).
(4.2.16)
§ 2.04] ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 327
Система (4.2.16) имеет порядок 12л, так как каждое из уравнений второй
группы также является дифференциальным уравнением второго порядка
относительно углов Эйлера.
Действительно, если воспользоваться кинематическими уравнениями Эйлера,
уравнениям поступательно-вращательного движения системы в абсолютных осях
можно придать вид
tlti d2h dV
dt2 <*l
Cs H. ко II dU
nil ЙТ](
mt d2Si . . dU
dt2 dti
V = o, , 1,
---. 1ТГ
иа * t'
= Ф"
dt2
dt2
=е,
d:fh п - 1),
(4.2.17)
где
д и
sin = &гфг - cos -f (-¦ - sin q>{ cos <p, ^ ^ /sin29, cos!q>-\/dU dU \
+ CoSec^^^J- + _5_-j(__ C0S^_J +
-f (i^cos-f ф?)+ ~§~)"ФгsinФ<cosФ*sin^ +
+ ('?iiri С082Ф< (4.2.18)
ф'= ТГ Iqb ~ cosec " w' ctS +
____B' *
-1-l~c^i-l" ^ s'n s*n ' C0S C0S s'n ^ 1 S'n
/ cos2 ф, sin2 m, \ dU
e? = - 1|>(ф| sin o, + +
(1 1 \ sin ф. cos ф, / dU dU \
17 " TTJ sin " C0S
+ (ij>, cos -f фг) [(-(r)1Zl?l cos2 Ф, - -l-~-Ai sin2q>,) sinfy +
+ (rLXTL + ^sin ф( cos ф'] *
Дифференциальные уравнения (4.2.16) или (4.2.17) имеют только десять
известных первых интегралов, вытекающих из основных теорем механики,
328
4. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
IS 2.05
Интегралы движения центра масс системы:
(4.2.19)
В формулах (4.2.19) fj, координаты центра масс си^ стемы материальных тел
Мй,М\,..., и m - общая масса системы, аь аг, аз. Ь\, Ь2, Ь3 -
произвольные постоянные. Интегралы площадей:
где с 1, с2, сз - произвольные постоянные, а$ - направляющие косинусы
собственных осей тела Mit выражаемые через углы Эйлера по формулам
(4.2.01).
Интеграл энергии:
где А - произвольная постоянная.
§ 2.05. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в
относительной прямоугольной системе координат
Возьмем начало координат новой системы в центре масс Go тела М0, оставляя
направления осей координат параллельными соответствующим осям абсолютной
системы. Обозначим относительные прямоугольные координаты центра масс
тела М,- через xit уи Zi, так что
Очевидно, это преобразование не влияет на углы Эйлера. Таким образом,
состояние движения системы материальных тел
П- 1
П- 1
п- 1
/?0 Ч" AiPia<i\ Ч- "Ь ^iriaзз} сз>
л-1
xi = h~lо, У1 = Ъ - 1\ъ г{ = Si - So (4.2.22)
(t = 1, 2................л - 1).
в 2.05] ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 329
относительно центра масс G0 определяется переменными
¦^1" У 1> 2[, X2i У2, %2t ¦ ¦ ¦> Хп-li Уп-1>
'to, Фо. ^о! 'Фь Ф1> Фг! Фг> "фга-i, фп-1, "в'п-1 •
Уравнения движения тел Mi, М2, ..., Mn-i относительно центра масс Gо и
вращательного движения тела Мо имеют вид
dlxi ^ т0 + т{ dUiQ
dt2 momi dxi
d2yt т0 + т{ dUl0 dt2 d2z.
dR{
dt2
m0m( dy{
mo + mi aul0
dz,
dx.
I
dR{
~dyi
dR{
dz.
___щ
dt2 **
d2if It2
?ь.=ф
dt2 ^
d2b.
dt2
(4.2.23)
(i= 1,2......n-1, s = 0, 1.........n-1).
Здесь U" - взаимный потенциал тел М{ и М0,
Л-У'Г-и 1 1 (, ди'° 1 и dU'° 1 с Ri~ h L"i 17 "оч1 dxi dyi dzi /J'
у?1;
функции 0Я, Ф8 выражаются формулами (4.2.18). Порядок системы (4.2.23)
равен 12п - 6.
Система (4.2.23) имеет четыре первых интеграла (три интеграла площадей и
интеграл энергии), которые можно получить, если в равенствах (4.2.20) и
(4.2.21) сделать замену
(4.2.22):
{mt [(У1 + т]о) (zz + to) - (z/ + So) (У1 + т]о)1 +
+ А1р1а[^ + Btqta\^ + Ctrta^ = clt
Z {m, [(*, + Eo) (xt + io) - (*i + to) (±1 + So)] +
rt-1
+ AlPia21 + B<?(a22 + Ciria2§} = C:
2Г
Yi {mi [(*f + Io) (У1 + Ло) - {.Уi + Ло) (Xi + Io)] +
<=0
7 ? ^ + flo)2 + (it + ?o)s] +
+ Atp* + Blq* + Clr% = U + h.
ззо
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 2.06
§ 2.06. Каноническая форма уравнений поступательно-вращательного движения
системы тел
Рассмотрим в качестве обобщенных координат абсолютные прямоугольные
координаты rii, ?,¦ центров масс G* и эйлеровы углы системы ф,, ср,-,
fti. Принимая во внимание, что кинетическая энергия системы тел в
абсолютной системе координат выражается равенством
Я-1
Т- 7 ? lmi й + Ч + й) + Ар',+ + C,rg, (4.2.24)
