Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
k
H{qu q2.......qk\ Pu Рч........Pk> t) = ^Piti ~ T - U, (4.1.51)
в которой обобщенные скорости qit входящие в первую сумму и в выражение
для кинетической энергии, заменены с помощью (4.1.50).
Определение. Канонической, или гамильтоновой, системой дифференциальных
уравнений называется система
Чг-wr ^ = -^7 ('"Ьг,...,*). (4-1.52)
Каноническая система дифференциальных уравнений имеет порядок 2k и
эквивалентна системе уравнений Лагранжа
§ 1.14| ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 309
(4.1.48). Если Н не зависит явно от времени t, то система (4.1.52) имеет
первый интеграл
H(qu q2, qk; ри р2, pk) = h, (4.1.53)
называемый интегралом энергии. В этом случае Н представляет собой полную
энергию механической системы, А - произвольная постоянная.
Из изложенного правила следует, что движение механической системы может
быть описано бесконечным множеством канонических уравнений вида (4.1.52).
Все определяется выбором лагранжевых координат q\, q2, .. •,
§ 1.14. Первая каноническая форма уравнений абсолютного движения
Примем абсолютные прямоугольные координаты ц,-, &
(i =0, 1......п-1) в качестве лагранжевых координат q}
{} = 1,2, ..., 3п), положив
?" = 9зЖ> r\i = 43l+2, ?l = 93(+3 (t-0> 1, Я 1),
а для масс точек Р0, Ри ..., Р"_i введем обозначения
mi = m3l + l ~ m3l+2 ~ ^31+3 (г'~0> 1| ¦¦¦! п ~~ 1).
В этих обозначениях кинетическая энергия системы принимает вид
г-т5>№
/=i
Обобщенные импульсы даются равенствами
дТ dq
Р1=-Щ = т]Ч, 0' = 1. 2....Зп).
В канонических переменных pj и q(мы их называем абсолютными, так как они
связаны с абсолютными прямоугольными координатами) уравнения движения
системы имеют вид
11L-21L I 2 Зя)
dt ~~ дР/ ' dt dq} У .....дП>'
где гамильтониан равен
Н {Pi1 • • • г Рзп, Qi> • • •, Чзп)= Т (Pii ¦ • ¦ 1 Рзп) ~7 U (?ii ¦ ¦ •
I Язп),
(4.1.54)
310
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
II I.IS
причем
, Зп 9 П-1 П- 1
u = i/yy'JV!L,
2wm< 2 hh д"
tfj ~ (^з/+1 - ^3(+])2 + 0?з/+2 - Чы+2)2 + (Ч31+3 ~ Чз1+з)2
(". / = 0, 1......я - 1).
Система канонических уравнений имеет 10 известных первых интегралов.
Интегралы движения центра масс-.
П- 1 П-1
Z Рз( + 1~а1> (/n3i + I^3i + 1 1) = V
п~1 п-1
X| Рз(+2==а2' Е (^зг+г^зл-г ^Рзл-2) == ^2"
"=0 1=0
п-1 п-1
? ^3!+3 ~ °3' /?0 Cm3i+3^3i + 3 ^Рз{+з) ~ К-
Интегралы площадей:
Л- 1
(^зл-гРзг+з ?з/+зРз"+2)=
/=.0 п-1
X (7з{+зРэж Чм+\Ръ1+ъ)= с2*
i-Q п-1
Е (<7з/+1 Р31+2 " Qai+zPai+i) = сз•
1=0
Интеграл энергии-.
H = h.
§ 1.15. Вторая каноническая форма уравнений абсолютного движения
Примем абсолютные цилиндрические координаты р,-, Я,-, & (i = 0, 1, ..., п
- 1) в качестве лагранжевых координат. Тогда соответствующие им
обобщенные импульсы Pj, A,-, Z,- выражаются формулами
л/ = '"гР?\-. zi=miit (4.1.55)
(* = 0, 1......п- 1).
S 1.15! ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
В новых переменных уравнения движения имеют вид
311
dp, dH dP { dH
dt dPl ' dt dpt
dki dH dA.i dH
dt dAt ' dt dkt
dli dH dZt dH
dt dZt ' dt dh
u = 0, 1, .... n - 1),
(4.1.56)
где
н=т-и,
я- 1
7'=i?-fp' + ^- + z'L
2 /Го m' L Р? J
# П"1 л-1
"-T'ZZ
*1/ *
г=о /-О
А?/ = Р? + Р/ - 2РгР/cos (К - I) + (?; " ?/)2-Известные десять первых
интегралов системы (4.1.56) имеют
вид
П- 1
? (р, cos X,
г=о
п-1
sin Я
Pi
n- 1
аЛ = ai, z mlplcoski = a1t + bu
J 1=0
J] (p, Sin Kt + Af) = a2,
Л-1
Z 2г = а3, i=0
/1 - 1
m?pi sin Я,, ¦- аЛ + &2.
f=0
n-1
Z тг?г = а3г + Ь3,
i=0
7| -1
j] ^P'^1 Sin i S*n "I p ~ =
г=о
n-1
? (pt COS ki - лг) - PiZ, cos = c2,
П- 1
E Ai = Сз.
г=о
P{P, A, Z; p, X, ?) = *.
312
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 1.16
§ 1.16. Третья каноническая форма уравнений абсолютного движения
Рассмотрим в качестве лагранжевых координат абсолютные сферические
координаты ги Я,,-, <р, [см. формулы (4.1.32)]. Тогда соответствующие им
обобщенные импульсы Ru Л,-, Ф* выражаются равенствами
п дТ
Ri = -gT- = mlri,
Л,- = -Щ- = mscos2(p dXi 1,1
(* = 0, 1...n- 1).
(4.1.57)
В этих переменных дифференциальные уравнения движения имеют вид
drl dH dRt dH
dt dRt ' dt dri
dXi dH d\[ dH
dt dAt ' dt dkL
dtp, dH dG>t dH
dt dOL ' dt
a = 0, 1, • • 1 J n-l).
(4.1.58)
Гамильтониан задается равенствами H = T~U,
1=о /=о
Ai/ = ri + r/-2rir/cosV
COS ytj = sin ф, sin фу + COS ф, COS Фу COS (Я( - Я;).
Так как дифференциальные уравнения (4.1.58) описывают абсолютное движение
системы материальных точек, то она имеет
Э 1.17]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ я ТЕЛ
313
десять известных первых интегралов:
л-1 , .
Z, Sin ф. cos л, sin/,, \
( tf, cos " cos '--------------------1- Ф, - -L. АЛ = alt
1=О I I У
Е/ . sin ф, sin Я, cos Я, \
( Rt cos ф< sin \t-------------------Ф, + y-L- аЛ= a2,
(=0 1
Я-1
X ffx/i cos ф, cos = fljf -\-bu
i=о
i=0 П-I
X m^i cos ф, sinX, == + b2,
i-= о
Я- 1
Z sin ф, = a3f + ft3,
/-0
n-1
X (Ф* sin Я/ - Л, tg ф/ cos X[) = ,
i=* 0 n-1
? cos + Ai tg ф/ cos Kt) = - c2,
/=0
я- 1
? A, = c3l
i=о
1 V I Л Ф? Л? Л
2I - Ui + -r+ -2 a -) = U + h.
* jTo m, \ r? #•? cos <pi J
