Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
называется гелиоцентрической. Аналогично можно говорить о
геоцентрической, салурноцентрической и вообще о планетоцентрической
системах. (Подробнее см. ч. I, гл. 1.)
Пусть координаты точки (? = 1, 2.........п- 1) в выбран-
ной системе суть х{, yit z,. Новые координаты выражаются через
барицентрические координаты с помощью равенств
л-1
л-1
(4.1.12)
fl-1
xt = l't - & 0, = л;-тй. (4.1.13)
(/=1, 2.......n-1).
294
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[9 1.05
В этих переменных уравнения движения точекРи Рг, • ••, Рп-\ имеют вид
' r)
, /K + 'n/)J'i
df2 1 rf
d'2zl , ^K + m/)z" Г J - =
dt
дг,
(t = l, 2...л-1).
(4.1.14)
Функции R{ (t = 1, 2......га-1) называются возмущаю-
щими или пертурбационными функциями-.
п-1
Ri = f Е' щКц, i ^
" 1 X,*, + yty, + ZtZ,
ail rl &h = (x, ~ xiJ + (У/ ~ Уд* + (z/ ~ zif>
r) = x) + y)-\-z).
(4.1.15)
Формулы перехода от координат х, у, z к барицентрическим координатам т)',
?' имеют такой вид:
П - 1
й=*/--йг? тл-
f=i
п - 1
/="1
*-1
mizi
/=1
(* = 0, 1, ..., га- 1),
П- I
m = X mt-
<-о
4 l.flei ГЛ. l. Уравнения движёния задачи л тел 295
Известные интегралы уравнений (4.1.14) имеют вид: интегралы площадей:
л-1 гп-l п-1 п-1 п- 1 -1
Е mi - ziyi) - i E m'yi E m&-E m'Zi E = c'i>
i=l *-i=l i=1 J=1 i=l -I
n-I rn-1 n-1 n-1 n- I "I
E fab-*&) -IE miZ' E т'*'-E miXi E = c2-
i=l Li=I i=] i=i J
n-1 гп-l n-1 n-1 n-1 "1
E mi (xrfi - ум - E mtXi E тЛ' ~ E m'yi E mi*i = сз'>
/=¦1 *-1=1 (= I ? = 1 i = l -•
интеграл живых сил:
n- 1
тЕ mi(ii+y? + 4i)"
i=*l
fn- 1 \2 /n -1 \2 /n- I
-i[(| "a) ¦+(?, m'*') 41
§ 1.06. Уравнения движения
в идеальных прямоугольных координатах Ганзена
Пусть материальная точка Р движется под действием ньютоновского
притяжения материальной точки Р0 и возмущающего ускорения, порождаемого
возмущающей функцией R.
Тогда в прямоугольной системе координат Poxyz уравнения движения точки Р
имеют вид (4.1.14) (опущен индекс "&)
d2x . f (m0 + m) x _ dR
dt2 "¦ r3 ~ dx '
d2y . f (m0 + m) у dR
dt2 "¦ r3 dti '
d2z . f (m0 + m) г dR
dt2 "¦ г3 ~ дг '
Идеальными координатами точки Р0 по Ганзену называются
прямоугольные координаты X, Y, Z, связанные с прежними прямоугольными
координатами х, у, г формулами
X = а (0 х + ai (0 у + а2 (0 z,
У = Р(О* + МО0 + МО*.
Z = Y (0 x + Y l (0 У + Y2 (0 z,
296
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
IS 1.06
а их производные - аналогичными равенствами X = а (0 х + а, (0 у + аз (0
?,
У = Р(0* + Р, № + &")*,
Z = y(t)* + yi{t)y + У2 {t)2.
Направляющие косинусы а........Y2 удовлетворяют очевидным
соотношениям
аР + ttjP, + а2Р2 =
Р* + Р? + Й=1. aY + °1Y1 + ct2Y2 = 0,
Y2+Y? + Y2=l. PY +P,Y1 + PaYs = 0
или
a2 + p2 + Y2=l,
a? + Pi + Y?=l.
aai + PPi + YYi = 0, aa2 + PP2 + YY2 = 0,
ai + P2 + Y2==l> ^Oj + PjPj + y^^O
(4.1.16)
Систем идеальных координат - бесконечное множество, поэтому для выбора
определенной системы необходимо наложить дополнительное условие. В
качестве такого условия Ганзен взял равенство
Y(0* + Yi(0y + YzWz^O, (4.1.17)
т. е.
Z = 0.
Координаты X, Y, 0 называются ганзеновскими. Очевидно, что во все время
движения точки Р плоскость P0XY проходит через радиус-вектор г точки Р.
В координатах. Ганзена уравнения движения имеют вид (см. [3])
, f (т0 + т) X _ dR
• гЗ
Т +
(XY - YX) (XY - YX)
f (т0 + т)У
дХ'¦ dR
г3 дУ '
Г2 = Х2 + Y\
(4.1.18)
л/1 - ai - Pi
= -У
dR
dZ
Рг ______ у
(4.1.19)
8 1.071
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ
297
Возмущающая функция R должна быть выражена в виде явной функции координат
X и У.
Эти уравнения определяют X(t), Y(t), a2(t), МО, п°сле чего можно найти у2
(t), a{t), р (t), ai(t), Pi (t).
Переход к первоначальным координатам осуществляется по формулам
Как видно из условия (4.1.17), координатная плоскость PqXY совпадает с
плоскостью оскулирующей орбиты точки Р (см.
В принципе можно ввести идеальные координаты и в задаче п(п> 2) тел,
однако практически это малоцелесообразно.
§ 1.07. Уравнения абсолютного движения в цилиндрических координатах
Пусть цилиндрические координаты точки Pi суть р,-, Я,-, ?i
(i = 0, 1.....п-1). Формулы перехода от цилиндрических
к абсолютным координатам |i( т),-, ?,¦ имеют вид
Здесь р4 - проекция радиуса-вектора rt точки Р( на координатную плоскость
Ogri, Ki - долгота точки Pt, т. е. угол между положительным направлением
оси 0? и р{.
Уравнения движения в абсолютных цилиндрических координатах имеют вид
х(0 = "*(0*(0 + р(/)У(0.
0(0 = а, (/)*(/) +Pi (/)У(/). 2(0 = а2(0*(0 + р2(0У(0.
§ 3.02).
- Pi cos Я/, Т)г р, sin ^i, ?i ?i-
(4.1.20)
(i = 0, 1, ..., n - 1),
л-1 n-1
A?/ = p* + p) - 2P;P/ cos(*7 - M
298
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 1.07
В развернутом виде правые части уравнений (4.1.20) выражаются равенствами
dU г V*1' Р/ cos(*7 - *ч) - pi
ж=1т<Ь т -
/-о
п- 1
W~==fmiPi'Z miPi
sin - Я^)
/=•0 n- 1
(j?=i, r = 0, 1, ..., я - 1).
(4.1.21)
Система (4.1.20) написана в абсолютных координатах, поэтому допускает 10
известных первых интегралов.
Интегралы движения центра масс:
