Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
+ j\;Y sod ;db sod +
-f- ;y uis ;db uis 'ф}j - ?y urs ?d> sod *j) *iu ,I]+
-f- [('y ujs ?<b sod ?Y?v - ?y sod 'cb uis 'ф'^ -
- ;Y sod ?db sod U)1lu j | -p -
i=?
-('*zSOD fa + j%[j + 'v)'ш
[-U
'p = [('Y uis ?db sod ?y7^ - ;Y sod !db ujs гф Jj -
i=? i"?
- ?Y sod ?d> sod U) Hu ^ 'y uis ?db sod 1Siu ^ -
I-U ,-u
- ('y sod ?d> sod }y-j + 'Y uis 'db uis 'ф'л - i ¦=; i=?-i
- ?yuis 'cbsoD'j) 'ш ^'ysod^sod'j'w ^
l-u I-wj
Ш
T
- '* ZS0D \zjlw [X I-u
г I=? 1=7
'53 - =: ('dbsOD'i'-y-t-'dbuisV) !ui ^ 'YSOD'cbsoD-Viw ^ - L I-U |-U
- (;y uis'cbsod }x}j - ;y sod 'db uis 'ф'.у -
- 'Y sod Jcb sod ?j) 'ш ^ 'db uis ?.у?ш ^ I -у- +
I-U [_uj
1=7
+ (?Y uis 'db uis ?db sod ;y + 'Y sod ;ф) \Jtu
l-u
ЙИНЗЖИН'0 OJOHHaHlAWEOH ИИсЮЗ! Л1 'h WE
5 l.Hi
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
305
§ 1.11. Уравнения движения в полярных координатах Ганзена
Назовем полярные координаты г и w в плоскости оскулирую-щей орбиты точки
Р полярными координатами Ганзена (рис. 62).
Рис. 62. Идеальные координаты Ганзена. Пл. ху-осноэная координатная
плоскость; пл. XY - плоскость оскулирующей орбиты; П -перицентр
оскулирующей орбиты, xft*=Q; Я^ана; ХХ1=х; i -наклон; долгота точки
Р в плоскости XY\ xQ=*L - долгота
точки Р в плоскости зсу; PQ=*B - шнрога точки Р; Oft- линия узлов.
Связь между идеальными (см. § 1.06) и полярными координатами Ганзена
дается формулами
A" = г cos од, Y = r sin w.
В полярных координатах л и од уравнения движения точки Р имеют вид [3]
¦ ? , / ("о + т) dR г1 ~ дг '
rw'
d / 2 ¦ \_
- (*")= а*-
(4.1.43)
Если обозначить через
h = r2w = XY -YX,
то второе уравнение (4.1.43) запишется следующим образом:
dh = dR dt dw
Если R = 0, то уравнения (4.1.43) описывают невозмущенное кеплеровское
движение и их общее решение известно (см. ч. 11).
306
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 1.12
Направляющие косинусы ганзеновской системы координат относительно
первоначальной системы Рцхуг находятся из уравнений
d2 Y dR
уг h az '
р2 X dR
у2 h dZ '
a a, p, у. "ii Pi. Yi. Y2 определяются из соотношений (4.1.16).
Окончательные формулы для гелиоцентрических прямоугольных координат х, у,
z планеты Р имеют вид
х = аг cos w + Р^ sin w, 'J y = a[rcost2) -f p^sin(r), f (4.1.44)
z = a,r cos w -f Р/ sin w. >
Формулы (4.1.44) содержат семь произвольных постоянных, но две из них
характеризуют положение оси Р0Х в плоскости оскулирующей орбиты PoXY,
поэтому одной из них можно придать фиксированное значение.
§ 1.12. Уравнения Клеро - Лапласа
Введем вместо относительных цилиндрических координат Pi, Х{, Zi новые
переменные ut, Kt, st (переменные Клеро - Лапласа) по формулам
Если в качестве нззависимой переменной взята одна гз долгот А*, то
уравнения движения системы в переменных Клеро - Лапласа будут иметь вид
(см. [1], [3])
§ 1.13]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
307
Для функций Uи Si, Li Клеро и Лапласом выведены формулы
Ut=_ {Pi+u* hf+г* Gf)] ^} •
^ = -^{а?-и1[^ + П-^-(4)1-^1 (i=?k). ft ^ i k k ^
Вспомогательная функция Га определяется дифференциальным уравнением
\
(4.1.46)
ГА
d\b и ь
Функции Pi, A,-, Zit входящие в соотношения (4.1.46), имеют следующий
вид:
f(m0+ mi)"i
¦V [ UiCos^-X,) U/COS^-X/)-]
o+.d' +'h 'L .-a (¦+*?)'¦ J'
f (mJ + mi) Siui , Г U'Sl~UiSi */"/ 1
------oT^f"+ffem'r^~oTW
ui /=i "/ LA/ 0 + si) J
" u] + u) - 2uiU/ cos (Xt - Xt) + (u^j - UjStf
All = -------------2~2-------------•
Если уравнения (4.1.45) проинтегрированы, т. e. и;, A,-, s,- известны как
функции долготы X/,, то для нахождения их зависимости от времени t
следует найти Xu(t) из уравнения
dXh
dt
k = ukYk.
(4.1.47)
§ 1.13. Общее правило составления канонических уравнений
Пусть механическая система, имеющая k степеней свободы, движется в
потенциальном поле с силовой функцией U. Тогда ее движения описываются k
обобщенными (лагранжевыми) координатами 0i, 02, .. ¦, Qh и уравнения
Лагранжа второго рода [9]
308
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[" 1.13
для этой механической системы имеют вид
d ( дТ \ дТ dU /-in и\ /л i ло\
7=а^7 (t = I>2....*>• (4Л-48)
где Т - кинетическая энергия механической системы, U зависит от qi,
q2...qh, t.
Система (4.1.48) представляет собой систему k дифференциальных уравнений
второго порядка, т. е. ее общий порядок равен 2k. Различными способами ее
можно привести к системе 2k дифференциальных уравнений первого порядка,
но наиболее удобной и полезной формой является так называемая
каноническая или гамильтонова форма.
Изложим правило составления канонических уравнений.
Наряду с k обобщенными координатами q\, q2, ..., qk введем в рассмотрение
k обобщенных импульсов р\, р2, .. ., рь. по формулам
Р'=Щ (i==I> 2............k)¦ (4>L49)
Переменные qu q2, ..., qpi, p2t рь. называются каноническими.
Разрешая уравнения (4.1.49) относительно обобщенных скоростей qi, получим
последние в виде функций обобщенных координат, обобщенных импульсов и
времени t:
qi = Wl{ql, q2.....qk\ pu p2.......pk\ t). (4.1.50)
Составим характеристическую функцию (функцию Гамиль-тона) Н, равную
