Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.17. Первая каноническая форма уравнений относительного движения
Примем координаты Якоби х\, у\, г\ (i = 1, 2...п-1)
(см. § 1.04) в качестве лагранжевых координат qу и введем
обо-
значения
*1 = <7з(-2. ^ = ^1-1" 2^ = <?з? (' = 1.2........п-1), (4.1.59)
а величины щ [см. (4.1.09)] обозначим следующим образом:
~ ^31-2 " ^3i -1 = l^3i (? ==1| 2.............п 1).
Тогда кинетическая энергия системы будет равна
Зп-З
rpf _ 1 \ ^ * . г2
Т = 2 L "flt *
314
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[" 1.18
поэтому обобщенные импульсы будут равны
дГ'
В канонических переменных р' и q't дифференциальные уравнения
относительного движения имеют такой вид:
dq, дН'
dt
ср]_
dt
др
Г "
/
дН'
dq,
(4.1.60)
Я'(Р1. р'2,
(/ = 1, 2......Зл-З);
Рэп-3' ?1> ^2' *?3л-з) =
==r'(P;, р'......K-O-^W. ?'>•
, 3ft-'3 1 v-ч р
^зп-з);
. п.- 1 п- I
1 . т-4 г-i' mtmi
2 Pi 2 ?; А Д"
ЛЦ "(?"/-! ~"31-!+Z *о* !) +
' k=i к '
(/>/)¦
Четыре известных первых интеграла системы (4.1.56) выражаются равенствами
л- 1
? (?3i-lP3i ^3iP3i-l) = С1>
i=l я-1
(^3i^3i-2 ^3i-2^3() С2"
i=l
я-1
/5 (^3'-2^3'-1 ^зг-1Рз1-г) сз-
H' = h'.
§ 1.18. Вторая каноническая форма уравнений относительного движения
Вместо прямоугольных координат Якоби х', у', г\ (§ 1.04) введем
цилиндрические координаты р?, ?' по формулам
^ = p'cosa', j/; = p;sinA;, z\=i\ (t = i, 2,..., л-1) (4.1.6I)
в 1.18]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
315
дТ
т-цД.
'
В этих переменных уравнения движения имеют вид
sx ¦о дН' dp; *//'
d< aP[ • d/ aP'
dA,' a//' dH'
"И сМ' ' df ~ dh\
< a//' <5Z' dH'
d/ <• d/ <
V = = 1, 2, • • ¦ " n - 1),
причем
Н' = т'- и,
n-I n-I 1 . n v-i'
(4.1.62)
и примем их за лагранжевы координаты. В этих переменных кинетическая
энергия системы Р\, Р2.Рп-1 определяется ра-
венством
т' = J Z ^ + р^* + ^0-
Введем обобщенные импульсы РJ, Z{:
р;=§-"р;.
(4.1.63)
(4.1.64)
''-y'ire-
i=0 /-=0
д;,=(р;со5л',-р;со^; + Е^^У+
+(Р; .ш ц - pj sm л;+1 J+(ч-*+ g :?).
*-i
о* = Ц /П|.
{¦•О
316
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[$ 1.19
Четыре известных первых интеграла системы (4.1.64) даются соотношениями
j^p'Z' sin А, - (pJ sin К + у-cos я')] = с'>
I [" (р; cos М - л;) - p'Z' cos а;] = cj,
У Гр' cos Гр; sin Л') -
fcl Pi '
- Р; sin а; (р; cos а; - = <.
Н' = Л'.
§ 1.19. Третья каноническая форма уравнений относительного движения
Рассмотрим в качестве лагранжевых координат сферические координаты r[,
k'lt ф?, связанные с относительными координатами Якоби х[, у[, г\ (i = 1,
2, ..., п- 1) формулами
' cos ф^ cos Х'{,
cos ф' sin K'it
xt = r
Vi
5Шф^
(4.1.65)
(t= 1, 2.....л-1).
Кинетическая энергия системы точек Pi, Р2........Pn-i опреде-
ляется равенством
п- 1
г - т Е I*/ ft'++'W'с"! О-
г= 1
поэтому обобщенные импульсы равны
-ail-ur'
Ri~ дг'
ф;=^7=^<2ф;.
Оф i
А'1 = Щ'==^'Г'12^cos2(p'
а=1,2.......п-1).
§ 1.19]
ГЛ, 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
317
В этих переменных канонические уравнения относительного движения
записываются в виде
dr|_ dH' dR\ dH'
dt a*, dt dr'
d<f'i dH' dO>[ dH'
dt ~ дф[ ' dt ~ dq>'
dk't дН' dA't dH'
dt dt d\\
(4.1.66)
("' = !, 2.л-1),
где
/ 1 1 ( /" ф/! K'i \
1 (А,- \ rt rt сов"?,/
п- 1 п - 1
J=0 i=*0
Д,у = cosф)cosЯ, - r' cosф' cosX' + Y, Wfcf * CQeф* CQS^fe>|
' *=i k '
(1~1 / / . ,/ \2
. ros sin Ль 1
r' COS ф' Sin Яу - r' COS ф| Sin Ц + 2_J -^- I +
k=i °k '
+ (r'j sin Ф; - r; siny; + т*Гк*т ф* "j
4 k=i k '
Четыре известных первых интеграла системы (4.1.66) выражаются
соотношениями
п- 1
? (ф; sin Я' - Л' tg ф; cos Я') = с[,
? (ф; cos я; + л; tg Ф; sin я') == - с',
1=>1
п- 1
Z
(=i
?.л;=сз.
Н'= А'.
318
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
!§ 1.20
§ 1.20. Уравнение Гамильтона - Якоби.
Метод Гамильтона - Якоби
В §§ 1.13-1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и
относительного движения задачи п тел. Интегрирование канонических
уравнений движения механической схемы с k степенями свободы тесно связано
с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого
уравнением Гамильтона - Якоби. Оно имеет вид
Правило его составления следующее: обобщенные импульсы pit входящие в
функцию Гамильтона Н (4.1.51), заменяются частными производными -Щ-
некоторой неизвестной функции
S(t, q\, <72. ¦¦¦> ?й), после чего записывается уравнение (4.1.67).
Если функция Гамильтона Н не зависит явно от t, то вместо уравнения
(4.1.67) обычно записывается уравнение
с неизвестной функцией W(q\, ....<7л). Переход от уравнения
(4.1.68) к уравнению (4.1.67) осуществляется заменой
Определение. Полным интегралом уравнения в частных производных первого
порядка называется такое его решение, в котором число неаддитивных
(существенно различных) произвольных постоянных равно числу независимых
переменных.
Если в уравнение в частных производных не входит сама функция S, как это
имеет место в уравнении Гамильтона - Якоби, то число существенно
различных произвольных постоянных на единицу меньше [10].
Якоби доказал [10], что нахождение общего интеграла канонической системы
