Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
собой огибающую семейства траекторий невозмущенных движений.
Траектории семейства невозмущенных движений называются оскулирующими
орбитами, а их элементы - оскулирующими элементами. Система
дифференциальных уравнений (4.3.05) может быть названа системой уравнений
для оскулирующих элементов. Возмущенное движение может рассматриваться
как
непрерывно изменяющееся кеплеровское движение, а возмущенная орбита - как
непрерывно изменяющаяся оскулирующая орбита.
§ 3.02. Уравнения Ньютона
для кеплеровских оскулирующих элементов (общий случай)
Назовем оскулирующей плоскостью плоскость, проходящую через радиус-век-
тор г точки Р и ее вектор скорости V. Введем подвижную прямоугольную
систему координат PSTW следующим образом (рис. 64): ось PS направим по
радиусу-вектору г точки Р, ось РТ выберем в оскулирующей плоскости
перпендикулярно к PS и направим ее так, чтобы при совмещении PS с PqX ось
РТ можно'было бы совместить с осью Р0у-, ось PW направим перпендикулярно
к оскулирующей плоскости таким образом, чтобы выбранные оси составляли
правую систему.
Рис. 64. Проекции возмущающего ускорения, S - проекции на радиус-вектор
трчки Р, Т - на трансверсаль, W - на бинормаль оскулирующей орбиты.
s 3.02] ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 335
Направляющие косинусы новых осей в системе координат P0xyz выражаются
формулами [1]:
cos (S, х) = а = cos и cos Q - sin и sin й cos i,
cos (S, у) - p = cos и sin Q + sin и cos Q cos i,
cos(S, z) = у = sin usini,
cos(7\ jc) = a cos (T, z/) = 8 cos (Г, z) = y cos(W, x) - a cos (W, г/) =
р cos (W, z) = y
= - sin и cos Q - cos и sin Q cos i, = - sin и sin Q + cos и cos Q cos i,
= cos и sin i,
= sinQsini,
= - cos Q sin i,
= cos I.
(4.3.06)
Обозначим проекции возмущающего ускорения на три новые координатные оси
через S, Г, W соответственно. Тогда, очевидно,
и
S = аХ + РУ + \Z,
Т = а'Х + Р'У + \'Z, W = a"X + $"Y + y"Z
X = aS+a'T + a"W, y^ps + p'r + p'^, Z = yS + y'T + y"W.
(4.3.07)
(4.3.08)
Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, которые могут быть
названы уравнениями Ньютона*), имеют вид [1], [3]
ЛЕ- - 2 гТ dt п '
= sin v • S + [cos v + (cos w + fi) у] T,
4S- = -cos u-W, dt p '
dQ, r .
-rr = - sin u cosec i at p
W,
d(b
COS V
Sin V
dt
(l +7)? - ysinactgi ¦ W,
(4.3.09)
*) М. Ф. Субботин называет эти уравнения "уравнениями Эйлера" [3].
336
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
{§ 3.03
где _ _ _
з=л/тг5'
u = v + и, r = p{\ +ecosw)"1,
V
M - 9 [ cos X dX
r2 J (1 + e cos Л,)3 •
0
Истинная аномалия v связана со временем t уравнением
f - т - Р''• (- dX
Vu J (1 +ecosX)2 •
^ о
§ 3.03. Уравнения Ньютона для эллиптических
кеплеровских оскулирующих элементов
Уравнения Ньютона (4.3.09) пригодны для описания возмущенных движений
любого типа, однако для движений эллиптического типа *) удобнее
рассматривать оскулирующие элементы ?2, i, а, е, л, е (см. ч. II, §
2.01).
Заметим, что в возмущенном движении средняя долгота в эпоху е и долгота
перицентра я определяются равенствами
е = я М0, я = Q + со, (4.3.10)
где Мо - средняя аномалия в эпоху, определяемая формулой
T = + (4.3.11)
an - оскулирующее среднее движение.
Средняя аномалия возмущенного движения определяется формулой
t
M = M<>+\n{t)dt. (4.3.12)
*0
*) Движение точки Р будем относить к эллиптическому типу, если всегда или
по меньшей мере в течение некоторого промежутка времени выполняется
2ц
неравенство V2-------- < 0, где V - скорость точки Р в системе Р^хцг,
5 3.041 ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Уравнения Ньютона имеют в этих элементах вид
da 2еа2 sin Up, 2а2 ^ dt ~ р г' '
¦- = sin v ¦ S + (cos v + cos Е) Т,
¦4т = - COS и • W, dt p '
dQ r . • tw
= -sin u cosec г ¦ W,
dt
dn
dt
de
coso j; , sin u /, . т \ s; , т . , i js,
S + - (1 +j)-T + Tsmutgj-W,
e
^.__2iVl-a!'S + ^slnUtg|-.# +
+ 1+-VV-[-C°S°'S + 5inl,(l + p)' ?]
337
(4.3.13)
§ 3.04. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов (общий
случай)
Пусть существует такая возмущающая (пертурбационная) функция R(x, у,
z,t), что проекции возмущающего ускорения X, Y, Z определяются формулами
Y dR Y дR
Л ~ дх ' ду '
dR * * дг '
В этом случае проекции возмущающего ускорения 5, Т, W в уравнениях
Ньютона (4.3 09) могут быть выражены через, частные производные функции R
по элементам, и мы получаем [1]
dp 2 V/Г dR
dt
de
Vn das'
1 - eJ dR
p dR
dt
di
e Vw da> це dr
1
dt
dQ
VnP s'n ' dQ 1 dR
dR cos i
dR
V^P sin i 3ca
dt V)ip sin I di
dot ______ cos I dR 2 Vp dR
1 - e2 dR
dt
VnP s'n 1 dl
Vfi dp eVlip de '
(4.3,14)
338 ч- IV' ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 3.06
Естественно, в уравнениях (4.3.14), называемых уравнениями Лагранжа,
возмущающая функция R должна быть представлена как явная функция
элементов Я, i, р, е, ш, т (см. гл. 6).
Замечание. При t = 0 третье и четвертое уравнения системы (4.3.14) имеют
особенность. Для ее устранения вместо наклона i вводят новую переменную I
~ cos i, а частную произ-
dR , dR dR . .
