Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(4.1.52) эквивалентно нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона -
Якоби (4.1.67). Это утверждение известно под названием теоремы Гамильтона
- Якоби.
Теорема Гамильтона-Якоби. Если известен полный интеграл S(t, qu q2.qh\ аи
аг...."й) уравнения Га-
мильтона- Якоби (4.1.67), то общий интеграл канонической системы (4.1.52)
дается равенствами
(4.1.68)
S = -ht + W.
(4.1.69)
(4.1.70)
§ 1.21] ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 319
Первые k уравнений определяют обобщенные координаты qt как функции t и 2k
произвольных постоянных ос,-, р,-. Подставляя <7i = "1. аг....рь рг,
• ¦, Рь) во вторую группу урав-
нений (4.1.70), находим обобщенные импульсы р* как функции t
И 2k ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ CCi, Pi.
Если известно общее решение канонической системы уравнений (4.1.52)
<7; - <7; {U Щ, а2.a*; ft, р2.......рА), "J
Pi = Pi(t, a,, ctj, а*; ft, Р2, .... р*) > (4.1.71)
(/ = 1, 2, .... Л), J
то методом Якоби [10] можно построить полный интеграл
S(t, qi....qh\ ось а......а*) уравнения (4.1.67).
Имеем дифференциальное равенство
к
dS = - Hdt+'Zpidql. (4.1.72)
i=i
Найдем из первых k равенств (4.1.71) величины Р< =
= х>(^. <7i. <7г..<7л1 "1. "2, ¦. ¦.. ось) и подставим их в другие k
соотношений. Получим
Pl = Pi{t, <7|, 02> Qki al' °2> ¦¦¦! ak)-
Если в равенстве (4.1.72) заменить на Pit то, согласно методу Якоби, оно
будет полным дифференциалом функции S. Его интегрирование дает нам полный
интеграл уравнения Гамильтона - Якоби, так как найденная функция S
зависит от t,
<7l> <72, ¦ • ¦ . <7fti "!> "2, ¦ • ¦ . ОС ft.
Если Н^(<7ь <7г..<7fti Л, сс2, ..., ос*) является полным инте-
гралом уравнения Гамильтона - Якоби (4.1.68), то общий интеграл
канонической системы (4.1.52) выражается равенствами
+ R ЁК-R ЛК-п (d 1 7Ч\
dh + Р' dat dq j Pi (4.1.73)
(:' = 2, 3, ..., k, /= 1, 2, ?).
§ 1.21. Уравнения движения системы в векторной форме
Пусть г,- - радиус-вектор точки Р{ в некоторой системе координат, a Vi и
gi - скорость и ускорение точки Pt в выбранной системе координат. Тогда,
очевидно,
Vi = ri, Si~^i-
Если Ri - равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pi, то можно
написать дифференциальные уравнения движения
320
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЙ
1-21
системы в векторной форме:
ri==-^Ri (*' = 0, 1.........п- 1).
Различные формы уравнений движения системы будут отличаться друг от друга
видом записи вектора /?;.
Например, в абсолютной прямоугольной системе координат имеем
п- I
т.т, Г/ Г'- (/ = 0,1....
Проекции вектора R,- суть
П- 1
рп' X, - xt
Rix = f2_, rniml 7з----------•
"о
ГС- 1
п fV' У\ - У1
R'y = fX, m'm/ Лз ¦
/3> Д'/
П- 1
г, - г.
аЗ
/=о
Для прямоугольной относительной системы координат с началом в точке Р0
имеем
1 _ f(mo + mi)
- Rt =
т.
т
1 п _ f(mo + mi)yi
- Kly-----------------J
'5'"№-<)'
n- 1
+';5'"'(тг-т)
(i=l, 2, n- 1).
Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений
поступательно-вращательного движения п взаимно притягивающихся абсолютно
твердых тел. Эта задача представляет большой практический интерес.
Достаточно упомянуть две проблемы: задачу о поступательно-вращательном
движении системы "Земля - Луна" и задачу о поступательно-вращательном
движении искусственных спутников Земли. Подробные выводы можно найти в
работах [8], [9], [11], [12].
§ 2.01. Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера
Пусть имеется система свободных, абсолютно твердых тел М0, М.....Afn-ь
Известно, что положение и ориентация каждого тела Mi (i = 0, 1.п-1)
относительно абсолютной
прямоугольной системы координат 0?т]? с центром в произвольной точке О
полностью задается координатами ?г> т]"> Si Центра инерции G* тела Mi в
системе 0?т]? и направляющими косинусами , а(Ц собственных осей Ог?',
GGfei, неизменно связанных с телом Mit в системе 01 т]?. Индексы
направляющих косинусов ajfi| характеризуются табл. 49.
Направляющие косинусы для каждого значения i связаны шестью известными
соотношениями, поэтому можно выбрать три независимых угла, которые
однозначно определяют направляющие косинусы каждого тела.
Чаще всего выбираются углы Эйлера: угол прецессии образуемый линией
пересечения плоскостей 0?tj и
Таблица 49
*1 / it
1 °12 ¦8?
л "со а22 "23
? "31 °32 4>
11 Под ред. Г, Н. Дубошина
322
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 2.01
с положительным направлением оси 0| (рис. 63); угол собственного вращения
Ф,-, образуемый положительным направлением оси ОД' с линией пересечения
GiN\ угол нутации О*, образуемый положительными направлениями осей и
Рис. 63. Системы координат для описания поступательно вращательного
движения небесного тела. Об1!? -абсолютная система координат; -
барицентрическая система
координат с осями, параллельными осям системы 0?tiE; - собственная
для
тела М[ система координат.
Направляющие косинусы выражаются через углы Эйлера с помощью соотношений
[8], [9]:
аи " cos 'Pfcos ~ s'n s*n cos a!*,* = cos sin ij)f + sin cos cos
