Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
переменными. Другими словами, эти канонические элементы принадлежат к так
называемым каноническим переменным "действие - угол".
Замечание 3. Элементы тц имеют величину порядка оскулирующего
эксцентриситета (для малых эксцентриситетов), а переменные ?г, т)2 -
величину порядка наклона оскулирующей орбиты (для малых наклонов),
поэтому вторая система канонических элементов Пуанкаре удобна для
получения явного разложения возмущающей функции в задачах астрономии.
Замечание 4. В некоторых работах применялись и другие системы
канонических элементов (Леви-Чивита, Хилл, Де Сит-тер, Андуайе и др.), но
они не получили большого распростра* нения в небесной механике (см. [3] -
[4]).
342
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
" 3.09
§ 3.09. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа для случая
малых эксцентриситетов
Второе и пятое уравнения системы (4.3.15) имеют особенность при е = 0,
поэтому их использование в случае эксцентриситетов, близких к нулю,
затруднительно. Для устранения этой особенности Лагранж предложил ввести
вместо оскулирующих элементов ей п новые переменные h и ? по формулам
A = esinn, ? = ecosn. (4.3.27)
Назовем h и k переменными Лагранжа.
Введем вместо, эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов а, е, i,
Я, я, е новую систему оскулирующих элементов a, h, i, Я, k, г. В
элементах a, h, i, Я, k, е уравнения возмущенного движения имеют вид da
2 dR
dt па де '
dh Vl - Л2'
dt
di
dt
dQ
dt
dk
dt
de
dt
dR
dk
______________h_____________ЙД
1 + Vl - h2 - k2 de
)+
dR
na3 Vl - h2 - k3 di
dR
nw
¦yj\-h3-k3
sin i ds2
tgT
a2 Vl - h2
_Ai*+
-k1 \ dh Ok de J
1
dR
na2 Vl -h2-k2 sin i di Vl - Л2 - k1 (dR .
6r
2 dR na da
.dh
tg-
1 + Vl -h2-k2 de
)-
dR
22 Vl - Л2 - k2 di
dR
na1
+
2 Vl -h2- k2 di Vl - h3 - k3
na3 (l + V^
г- k2 f - h2 - k2 ) V
dR
dh
+ Л -).
dk )
(4.3.28)
В уравнениях (4.3.28) возмущающая функция R должна быть выражена в виде
функции переменных a, h, i, Я, k, е и t. Уравнения (4.3.28), в отличие от
системы (4.3.15), не имеют особенность при 6 = 0.
§ 3.10]
ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
343
§ 3.10. Уравнения в переменных Лагранжа для случая малых наклонов
Устранение особенности i = 0 в третьем и четвертом уравнениях систем
(4.3.14) и (4.3.15) может быть осуществлено либо с помощью замены I = cos
i, как было указано в замечании из § 3.04, либо введением новых
переменных р и q вместо i и Q, как предложил Лагранж. Связь между
переменными Лагранжа р и q и оскулирующими элементами i и Q дается
соотношениями
р = tg i sin Q, *)
Д ' (4.3.29
q = tgt cos Q. J
В переменных a, e, p, q, я, e уравнения возмущенного движения имеют вид
da 2 dR
dt па де
de V1 - е- dR е У1 - е2 dR
dt па2е дл na2(l+Vl - е1 ) да
dp {\ + P2 + g2)4i dR dt '
па1 Vl -
_________ (dR dR ^
na2 V1 - e2 (l + Vl + P2 + <72 ) V dn de ) '
(I + P2 + q2f' dR
dq
P (1 +p2 + q:)
dq
dt
dn
na2 V1 - e2 dp
q( 1 +p2 + q2)
na
2 Уi -(l +Vi +p2 + ?2)
(dR . dR\ Чйя de)'
1 + p2 + q2
1
dt
de
dt
na'
2 У1 - e2 1+У1+р2 + <72
( dR .
dR\ , ^)+
dR
2 dR na da
\+P2+q2
1
! Vl -
na2e
X
de
e2 1 + Vl +P7 + q1
Vl - e2 dR e2 ) de
ks {" dR dR\ , ел/1-е2
X{p~b+q~n) + ",'0+VT^
(4.3.30)
В уравнениях (4.3.30) возмущающая функция R, разумеется, должна быть
выражена в виде функции переменных а, е, р, q, я, е и t.
*) Не следует путать перменную Лагранжа р с фокальным параметром
доническрго сечения, который также обозначается буквой р.
344
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Г§ 3.11
§ 3.11. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа (общий
случай)
Для случая малых эксцентриситетов (е =" 0) и малых наклонов (i0) удобнее
рассматривать вместо оскулирующих эле* ментов е, i, Я, л переменные
Лагранжа h, k, р, q. Тогда уравнения возмущенного движения в переменных
a, h, р, q, k, е представляются равенствами
da
dt
dh
It'
2 dR na de
Vi - h1 - k2
fdR
va*
dR
k(\+p2 + q2)
I+Vl - h? - k2 de 1
)+
па* Vi - A2 - k2 1 + Vi + P2 + q2 dp Cl + pa + g2)'1' dR
dt naJ V1 - h2 - k2 dq
p( 1 + p2 + q2)
na2 Vi - h2 - k2 (1 + УГ + p- + q2)
dq _ (1 + p2 + q2)'1' dR
dt na2 Vl -¦ h2 - k2 dp
______________________4 (I + P1 + Q*)_________________
na2 VT - h2 - k2 (1 + Vl + P2 + Я2)
dk __ VT
dt
( dR . dR\
{.pJF + q!7)'
(k!L
V dh
dk
de
)¦
h2 - k1
na'
fdR
чал
dk dej
dR'
1 +^l-h2-k2 de)
Л(1 + pa + q1)_____1 (p dR I ?
"2yi -h2-k2 1 + Vl + P2 + qs \ dp dq )'
na
de _____________________2 dR .
dt na da *
+
1 + pa + q2
1
na2 Vi - h2 - k2 I+Vl+P! + <7 +
2 V dp ^4 dqj^
V1 - л2 - k2 /h dR a*\
na2 (1 + Vl - h2 - k2 ) V dh dk)
(4.3.31)
В уравнениях (4 3.31) необходимо выразить возмущающую функцию R как
функцию переменных а. А, р, q, k, в и t. Эти уравнения не имеют
особенностей при е = 0 и t = 0.
В заключение укажем на связь между переменными Лагранжа A, k, р, q и
каноническими элементами Пуанкаре (4.3.23) и (4.3.25). С точностью до
первых степеней эксцентриситета е
§3.12] ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 345
