Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям.
Другими словами,
f (0, Ф) = ? [КоРп (cos 0) + п =0 L
+ ? (HBmcosm9 + BBMslnin?)P"m(cos0)], (4.5.57)
m=l J
§ 5.06]
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
375
где
я я
Лп0 = 2"4д 1 ¦ ^ ^ f (0, ф)Яп(сО8 0)8Ш0?*0?*ф,
-л 0
п п
Кт = 2п2п 1 • {(п + m)T S W <P)fli"n(""0) COS тф sin 0 d0 ?*ф,
¦л 0
2л + I
((" + 2)\ J $/(0, ф)ЯПт(с°5 0) sin/mpsin0d0?ty.
•пт- 2п
-я о
(4.5.58)
§ 5.06. Цилиндрические функции. Функции Бесселя
Определение. Функцией Бесселя Ij,(z) порядка X называется функция
М*> = Ёг(, + п(гУ+" + 1)(тГ*' <"-59>
п=0
It.(z) является аналитической функцией z при всех комплексных значениях z
(кроме, быть может, 2 = 0) и аналитической функцией X для всех X. Функция
Бесселя /у(г) называется также цилиндрической функцией 1 -го рода.
Если X - натуральное число, то вместо (4.5.59) будем иметь
|г,<"- (4-5ад
п=0
При Re^>-у справедливо соотношение
Ш' с
/к(г)= ,( - \e'zc°sflsin2*0rf0. (4.5.61)
г(л+т)г(т) oJ
Если X = п - натуральное число, то функция Бесселя I"(z) является
коэффициентом разложения
-2 О J)= ? In{z)tn.
(4.5.62)
-Г*-1)
Функция е 2 v tJ называется производящей функцией для функций Бесселя.
[§ 5.08
37 6 Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Простейшие функции Бесселя суть
/.<*>-1-пт(1)!+ тягОй* + <4-6-63>
7| <2> = f t1 _ ТТ5Г Ш* + W (f)' - аПГ (f)' + <4-5-64>
Через эти две функции можно выразить функции Бесселя всех других целых
порядков. Для этой цели следует воспользоваться рекуррентными
соотношениями, связывающими функции Бесселя:
2 п
(2) + 1п + 1 (2) = - /" (2) и-Лг)-1п?\(г) = 2Гп(г) Кроме того,
справедлива формула
[п-\, 2, ...), (4.5.65)
("= 1,2,...). (4.5.66)
(4.5.67)
Для функций Бесселя имеют место следующие интегральные представления:
Л
/" (2) = -i- ^ cos (шр - z sin ф) йф,
hn (2) = - \ cos (г sin ф) cos 2лф dy,
(4.5.68)
hn+i (2) = ^ sin (2 sin ф) sin {2п + 1) ф d<p.
Функция Бесселя I\(z) является частным решением уравнения Бесселя
d2w dz2
1 1 dw . f. X2 \
+ 7^T + l1
(4.5.69)
а функция Бесселя. I\(kz) есть частное решение уравнения (также
называемого уравнением Бесселя)
d2w
dz2
§ В.Ов] ГЛ. ". СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 37?
Свойство ортогональности: если вещественное
число Я > -1, то
1
$2jx(ft1z)Jx(fta2)<fc = 0. (4.5.71)
о
Для вещественных Я > -1 функция Бесселя I\(z) имеет
бесчисленное множество вещественных корней. Если г = ki,
г = k2 - два различных положительных корня уравнения Ix(zl) = 0, то
получаем второе свойство ортогональности функций Бесселя
i
^zIh(klz)Ih{k&)dz = 0. (4.5.72)
о
Пусть Wb(z)-общее решение уравнения Бесселя (4.5.69). Тогда имеют место
рекуррентные соотношения
~ №WK (z)] = z*yx-, (г), -?¦ [Z-Wk (г)] = - z-Wh+x (г),
WV-, (z) + WK+, (z) (z), WK-X (г) - Wx+l (z) = 2 .
(4.5.73)
В частности,
Wl (2) = -^^.
Теоремы сложения и умножения для функций Бесселя:
00
WQ (V^2 + r2 -2/?гсоэф) = Г0 (/?) /0 (г) + 2 Y, Wn (R) /" (г) cos пер,
. . . П=1
в частности,
оо
/0 (V R2 +Г2 - 2Rr cos ф) = 1Q (R) Iа (г) + 2 ? L {R) L (0 cos mp.
1
(4.5.74)
При | 2 | < | 11 имеем
WK{z + t)= t Wh-n{t)In{z), Wh{z-t)= t WK+n(t)In(z),
П^~оо д= -oo
___ oo
eikr cos В = /у/**_'?(п+ 1) in/n+1 (ftf) P" (COS 0).
2
378 Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 5.08
Наиболее употребляемые в приложениях асимптотические представления для
функций Бесселя:
(2) = л/"?"cos (2 " ^ ~т) + 0 (4-5-75)
или ___
^ W = лА*Г [C0S (2 ~ ^ - т) + 0 (2_|)] • (4-5-76)
В теории движения ИСЗ с учетом возмущений от сопротивления атмосферы
используются функции Бесселя от мнимого аргумента (или модифицированной
функции Бесселя). Они могут быть определены с помощью формулы
оо
h (2) = X Г (га + 1) Г (Я + п + 1) (т) ' I 2 I < °°>l
ar?z I < п-
п=0
(4.5.77)
ЛL
Функция I}.(z) связана с функциями Бесселя от аргумента ze 2 :
rikl / ni \
/x(z) = e" 2 /Дее2 ). (4.5.78)
Функции Бесселя от мнимого аргумента удовлетворяют дифференциальному
уравнению
Sl+7j?-(i+!>"°- <4-5-79"
Для них справедливы следующие рекуррентные соотношения: Wz)-Wz)===^4(z).
(4.5.80)
h-i(z) + h+l(z) = 2Ii(z), (4.5.81)
/-x(z) = /x(z), Я = 0, ±1, ±2.......(4.5.82)
-^[z4,(z)]^z4^(z). (4.5.83)
Интегральное представление для функции Бесселя от мнимого аргумента имеет
вид
<2) = -ПГ S (1 " Vy~'12 ch tzdt (4-5-84>
Можно также пользоваться асимптотическим представлением этих функций
/А (2) =" [е~г~ (Х+?)711 + ez] [1 + О {г-¦)]. (4.5.85)
5 5.07]
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
379
Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного числа,
выражаются через элементарные функции. В частности,
Кроме функций Бесселя к цилиндрическим функциям относят функции Неймана
(или функции Бесселя 2-го рода) и функции Ганкеля.
Функцией Неймана порядка К (X ф 0) называется функция
а функциями Ганкеля I-го и 2-го рода называются соответственно комбинации
Описание других свойств цилиндрических функций вообще и функций Бесселя,
в частности, можно найти в [13] - [16].
§ 5.07. Функции Ламе
Определение. Уравнением Ламе в форме Вейерштрасса называется уравнение
