Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
перигелийное расстояние q по формулам (см. ч. II, § 2.04)
t "i _ У{Г\ + г2у - я* - 2г, . Рд 2г2 - у(П + '2)г - Д2 (3 2 52)
2 Уя2 - (г2-Л!)2 ' 2 У"2 - (rt + л2)2
"=-Нт- *=-<3-2-53)
1 + tg3 ^ 1 + tg2
где _____________________________
s = V(*2 - *i)2 + (й - У\)2 + (г2 - zif.
Значения q, вычисленные по обеим формулам (3.2.53), должны совпадать.
2. Вычисляется момент т прохождения через перигелий:
T = fl-9*'.(tgi + (* = 1. 2). (3.2.54)
Оба значения т должны совпадать друг с другом.
3. Компоненты векторных элементов Рх, Q* можно найти по формулам
X} . , *2 *1
-sin о2--- sin vI - cos Vi----cos v2
~ sin 2 (o2 -"o,) ' ^ ^ sin 2(02-0!) ' (3-2-55)
а компоненты векторных элементов Pv, Qv, Рг, Qz по аналогичным формулам,
в которых xh заменяются на yh и zh соответственно.
Для перехода к элементам Я, ш, / .служат формулы (3.2.42) --(3.2.47).
264
4. Ш. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ и УЛУЧШЕНИЙ ОРБИТ
[§ 2.08
§ 2.08. Уравнения Ламберта и Эйлера
В задачах определения и исследования орбит важное значение имеют
уравнения Ламберта и Эйлера, связывающие два положения небесного тела на
невозмущенной кеплеровской орбите.
Пусть Г\ и г2- гелиоцентрические радиусы-векторы небес-ного тела в
моменты t\ и t2 соответственно, as - расстояние между концами векторов ги
г2, т. е. хорда, соединяющая два положения небесного тела на орбите в
моменты tu t2. Тогда в случае эллиптического движения имеет место
соотношение
k (t2 - ti) = а1/! [е - sin е =F (б - sin б)], (3.2.56)
где k - постоянная тяготения, а - большая полуось орбиты, е и б - углы,
изменяющиеся в пределах от 0° до 180° и определяющиеся однозначно по
формулам
sin*| = i+i±±, (3.2.57)
\Ti\ = ru |r2| = r2.
Верхний знак минус в правой части (3.2.56) берется, если угол между
радиусами-векторами г и г2 меньше 180°, а нижний знак плюс, если этот
угол больше 180°.
Соотношение (3.2.56) и называется уравнением Ламберта. Оно остается
справедливым также для гиперболического движения, если считать, что а < 0
и |а| равно действительной полуоси гиперболической орбиты, а величины в и
б полагать чисто
мнимыми (е = ie\, б = tfli, I = У- 1 )•
Уравнение Ламберта записывается также в ином виде после представления
углов е и б в виде рядов по степеням величин
V
4а
Если обозначить
m\ =y Vn + r2 + s, m2 = yVri + г2 - s, (3.2.58)
то получим вместо (3.2.56) уравнение
k (h [4 О? + <} + ^-у(т1 + тд +
7 а2 2-4 (/ni + 9о3 2-4-6 (т* + т*) ' ' '] * (3-2.59)
удобное в равной мере для эллиптических (а > 0) и для гиперболических (а
< 0) орбит. В обоих случаях правая часть этого уравнения не содержит
мнимых величин.
g 2.09] ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ 265
В пределе при |а| -> оо мы получим так называемое уравнение Эйлера для
параболической орбиты
k (/" -tx) = \ [(Г, + Г2 + S)7' + (Л + Г2 - *)'Л]. (3.2.60)
Если угол между радиусами-векторами г\ и г2 меньше 180°, так что надо
брать в правой части данного уравнения знак минус, и если s значительно
меньше, чем Г\ -f г2, то правая часть представляет собой разность двух
близких чисел и вычисляется весьма неточно. Тогда используют обычно
следующую форму уравнения Эйлера:
0О • 4А* (<8-/,)* = ** ("¦,+ г2), (3.2.61)
(где
9 see2 ^
0°=f--------гЦг. с = (г 1г У* sin у = т/с, (3.2.62)
[3 + tg*yv] 'п + ъ'
или
- 1 ^'T2'c^'48c2^' 864* ^ 20736 41 472 ^
+ тЛ1бс'+--- <3-2-63>
Уравнение (3.2.30), используемое при определении гелиоцентрических
положений в случае параболической орбиты (см. § 2.04), представляет собой
некоторый аналог уравнения Эйлера.
§ 2.09. Определение элементов эллиптической или гиперболической орбиты по
двум гелиоцентрическим положениям с помощью уравнения Ламберта
Пусть даны гелиоцентрические (экваториальные или эклиптические)
прямоугольные координаты Xh, ун, (Л = 1, 2) и соответствующие радиусы-
векторы гь г2 небесного тела на моменты времени tu /2 соответственно.
Вычисляем длину хорды s, равную
* = V(*2 - *l)2 + (У2 - У\У + (22 - Zi)2 .
и величины ш\, т2 по формулам (3.2.58). Уравнение (3.2.59) переписываем в
следующем виде:
9г-йжМ-^)+ ••• <3-2-64>
266
Ч. Ш. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
15 2.09
где
В качестве неизвестной величины принимается Если Q =
= 0, то ~ = 0, а = оо (параболическая орбита). Если Q ф 0,
то - находится методом последовательных приближений. За нулевое
приближение принимается
10Q
(3.2.65)
При этом, если Q > 0, то получим положительное решение -
уравнения (3.2.64) и а равно большой полуоси эллиптической орбиты. Если
же Q < 0, то решение уравнения (3.2.64) отрицательное и |а| равно
действительной полуоси гиперболической орбиты.
Эксцентриситет е эллиптической орбиты находится на основании того, что
углы е и б, определяемые согласно (3.2.57), удовлетворяют соотношению
Ь = Е2-Еи
(3.2.66)
где Ei и Е2 - эксцентрические аномалии небесного тела в моменты t\ и t2
соответственно. С помощью же соотношения г = а(1 -ecosЕ) могут быть
выведены формулы
4а2
(Гг ~ ПУ~
. , е - б
(2 a - fj - г2)2 " е - б
tg
Ei +Я2
(г2 - /¦[) соэес
е - б
