Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
8*
260
Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
К 2,03
В уравнении (3.2.34) неизвестной является величина р, связанная с
геоцентрическими расстояниями pi и р* формулами
Все остальные величины Г, 2, С о, До, с2 известны.
Количество положительных корней уравнения (3.2.34) относительно р и их
приближенные значения можно определить графическим путем. Для этого
достаточно построить графики, нанося по оси абсцисс значения р, а по оси
ординат значения величин г, а2 и га2. По формуле pi = 2р/{1 + М) получим
соответствующие приближенные значения корней pi исходного уравнения
(3.2.30). Уточнение этих значений проводится с помощью варьирования и
интерполирования.
§ 2.05. Вычисление элементов эллиптической орбиты
по двум гелиоцентрическим положениям
Выше было указано, каким образом по трем или четырем наблюдениям
небесного тела в моменты t\, to, t2 или 11, to, to, t2 можно найти его
гелиоцентрические координаты на эти моменты. Для непосредственного
определения элементов орбиты достаточно знать гелиоцентрические
координаты на два момента, за которые принимают ^ и t2.
Таким образом, пусть даны гелиоцентрические координаты Хк, Ук, Zk, >"к {к
= 1,2) на два момента 11, t2. Элементы эллиптической орбиты вычисляются
следующим образом.
1. Вычисляется параметр орбиты р по формуле
т = k{t2 - tx),
В2 = {y\Z2 - у2гд2 + (гхх2 - + (хху2 - x2yt)2 (3.2.36)
и г| - отношение площадей сектора и треугольника, образованных радиусами-
векторами.п. г2, т. е.
(3.2.35)
где
Способ вычисления этой величины был указан в § 2.01
2. Вычисляется эксцентриситет е по формулам
§ 2.05]
ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
26!
где
/1 *== Р - Г\> f 2- Р - rZ> I - х\х2~\~ 2.\2г
и В определяется согласно (3.2.36).
Совпадение значений е, находимых по обеим формулам
(3.2.37), является контролем вычислений.
3. Определяется большая полуось орбиты а:
4. Вычисляются эксцентрические аномалии Е\, Е2 и средние аномалии Ми
М2 на моменты tlt соответственно:
причем числитель и знаменатель в этой формуле имеют знаки sin Eh и cos Eh
соответственно (отсюда определяются четверти, в которых расположены углы
Ей Ег)',
Совпадение обоих значений п является контролем всех вычислений в пунктах
2-4.
6. Вычисляются экваториальные векторные элементы орбиты Рх, Ру, Рг,
Qx, Qy, Qz по формулам
(3.2.38)
tg ----------Д=т' (*=1,2), (3.2.39)
(я-г*) У 1-е2
Мк = Ек - esini:* (* = 1,2).
5. Вычисляется среднее движение п:
(3.2.40)
(3.2.41)
(3.2.42)
где
Контроль:
К\ + К\ + К\ = г], Q2 4 Q- + Ql = 1, Р\ + Р1+Р2г= 1, г\ (С2 + S2) = 1,
PxQx + PyQy -f = 0.
J (3.2.44)
262 Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ 5 2.08
7. Вычисляются направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в
экваториальной системе координат:
Rx = У1?1~Угг| . Ry= Rz - x"h ~ XiV~• (3.2.45)
Контроль:
Rl + Rl + Rl= lv
8 Вычисляются направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в
эклиптической системе координат:
Rx= Rx> j
Ry = Ry cos е + Rz sin в, I (3.2.46)
Rz - Rzcos e - Ry sin e, J
где e - наклон эклиптики к экватору.
9. Вычисляются долгота восходящего узла Я, наклон i и угловое расстояние
перигелия от узла и по формулам
sin i sin Я = Rx, sin t cos Я = - Ry, cos i = Rz,
sin i sin со = Pz cos Py sin e, sin i cos co = Q.5 cos e - Qy sin в.
Контроль:
Py sec e - P* fg Q
(3.2.47)
tgC0 Qy sec e - Q* tg Й ' (3.2.48)
На этом вычисление элементов заканчивается. Для контроля надо вычислить
по этим элементам и по формулам (3.1.01),
(3.1.14), (1.1.034) координаты а, б на средний момент to (в случае трех
наблюдении) или на средние моменты to, to (в случае четырех наблюдений).
Отсутствие хорошего совпадения может указывать не только на ошибки
вычислений, но и на то, что фактическое движение данного небесного тела
плохо описывается на данном интервале времени невозмущенной кеплеровской
орбитой.
Такое сравнение вычисляемых по элементам и наблюденных координат на
средний момент выполняется также в случае определения элементов
гиперболической и параболической орбиты.
§ 2.06. Определение элементов гиперболической орбиты
по двум гелиоцентрическим положениям
Вычисление параметра орбиты р, эксцентриситета е, действительной полуоси
а, а также элементов Я, /, со выполняется так же, как и в случае
эллиптической орбиты. При этом мы полу' чим е > 1.
§ 2.0Г,
ГЛ. 2, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
263
Вместо средней аномалии в эпоху принимают в качестве шестого элемента
момент т прохождения через перигелий. Формулы для вычисления т следующие
(см. ч. II, § 2.03):
ch Hk = -^~, sh Hk =-------(k =1,2), (3.2.49)
ae ea \e2 - 1
ka-'1' (if* - t) = e sh Hk - Hk {k = 1, 2), (3.2.50)
где gh (k = 1, 2) вычисляются согласно (3.2.37).
Для контроля вычисляется
esh Hi - eshtfj + Я, - tf2 /оосп
a---------------k ^ ^
Это значение a должно совпадать по абсолютной величине с вычисляемым по
формуле (3.2.38).
§ 2.07. Определение элементов параболической орбиты по двум
гелиоцентрическим положениям
1. Вычисляются истинные аномалии V\, a2 на моменты t\, fa и
