Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
орбите, должно находиться в момент t0 = (tx -j- t2)j2. Ось St] повернута
по отношению к оси S?, как обычно, на 90° в плоскости орбиты по
направлению движения небесного тела.
Векторные экваториальные элементы орбиты Рх, ..., Qz (см.
(3.1.15)) вычисляются при таком выборе орбитальной системы координат по
формулам
Рх = <7i (*i + х2), Ру = <7i 0/1 + у2), Рг = <7i (2i + г2),
Qx = <72 (*2 - *l)> Qy = <72 (У2 - У\), Qz = <72 (z2 - 2i),
(3.2.77)
где
<7i =
l
2a cos f '
<72 =
1
2a sin f
При этом надо иметь в виду, что угол со, выписанный в (3.1.15),
представляет собой в данном случае угловое расстояние между восходящим
узлом орбиты и точкой, в которой небесное тело находится в момент t0, т.
е. аргумент широты в этот момент. Этот угол обозначается через и0.
5. Вычисляем по формулам (3.2.45), (3.2.46) направляющие косинусы
перпендикуляра к плоскости орбиты в эклиптической
270 Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ (§2.11
системе координат Ях, Яу, Rz- После этого из формул, аналогичных
(3.2.47),
sin/sin Q = j?*, sin i cos Q = - cos i - Rz,\
sin t sin ы0 = Рг cose - P^sine, ? (3.2.78)
sin/cos"0 = QzCOS8 - QySine J
можно вычислить i, Я и Uo.
Искомая долгота lo в момент to равна сумме Я -f- "о и представляет собой
так называемую долготу в орбите.
Для контроля вычислений служит формула (3.2.48), в кото-род!следует
заменить со на и0.
На этом определение всех четырех элементов круговой орбиты а, i, Я, /0
заканчивается. Дальнейшее сравнение полученной орбиты с наблюдениями
сопровождается вычислением гелиоцентрических экваториальных прямоугольных
координат на любой момент времени. Такие вычисления производятся по
формулам (3.1.14), в которых следует положить
? = acosn(f - t0), Ti = asinn(f -10). (3.2.79)
§ 2.11. Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и
скорости в начальный момент
Пусть известны в начальный момент t0 прямоугольные координаты
(экваториальные) х0, уо, 20 и компоненты скорости хо, уо, го небесного
тела. Укажем, как вычисляются элементы невозмущенной орбиты,
соответствующей этим значениям.
1. Вычисляется величина
1
а
где
г0 = ^/4 + У1 + 4' ^ = *§ + ^ + 4 (3-2.81)
Положительному значению выражения, стоящего в (3.2.80) под знаком модуля,
соответствует эллиптическая, отрицательному значению - гиперболическая и
нулевому значению - параболическая орбиты.
2. В случае эллиптической орбиты вычисляются эксцентриситет е и
эксцентрическая аномалия Ео на момент to из соотношений
esinE0 =-т=, ecos?'o=l--, (3.2.82)
к л/а а
где S = XqXq УоУо + ZqZq.
V2
кг
(3.2.80)
s 2.11]
ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
271
Затем с помощью уравнения Кеплера М0 = Е0 - е sin Е0
(3.2.83)
вычисляется средняя аномалия в эпоху t0.
В случае гиперболической орбиты формулы для вычисления эксцентриситета,
аналога эксцентрической аномалии Н0 и момента х прохождения через
перигелий следующие:
В случае параболической орбиты достаточно вычислить параметр орбиты р и
момент т прохождения через перигелий. Формулы для вычислений следующие:
находятся элементы i', й', отнесенные к экватору, а также параметр р. В
случае параболической орбиты это значение р должно совпадать с тем,
которое находилось согласно (3.2.86). В случае эллиптической или
гиперболической орбит следует для контроля проверить соотношения
используя найденные значения а, е.
4. Экваториальный элемент ш' находится по формулам
причем числители и знаменатели выписанных формул имеют знаки синуса и
косинуса углов "о, "6 соответственно.
eshtf0 = -s-, ech #n = - + 1, (3.2.84)
eshH0-H0 = ka-'/>(t0-x). . (3.2.85)
p = 2r0 - ?, x = t0-±p'<> (<r0 + j о"). (3.2.86)
где
P0= , S/~ . s = xax0 + УоУа + Zo2q.
k Vp
(3.2.87)
3. Из соотношений
k-y/p sin i' sin Q' = y&Q - z0y0, k-yj p sin i' cos Q' = XqZ0 - y0x0,
(3.2.88)
k-y/p cos i' = хоуо - y0x0
P = a{ 1 - e2), p = a(ez - 1),
(3.2.89)
to' = Uq - Co,
272
Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
Г§ 2.11
5. Переход к эклиптическим элементам выполняется по следующим
формулам:
sin i sin Я = sin i' sin Я',
sin i cos Я = - cos Г sin e + sin i' cos e cos Я',
cos i = cos i' cos e 4- sin i" sin e cos Я',
...... n, (3.2.91)
sini sina = sin esin Я , '
sin i cos d = sin i' cos e - cos i' sine cos Я',
01 = 01' - d.
В заключение заметим, что все формулы, приведенные выше в главах 1 и 2,
рассчитаны прежде всего на применение современной вычислительной техники.
Формулы, где встречаются ряды, выписаны так, что очевидна структура
общего члена и можно проводить вычисления с необходимой точностью.
Для облегчения некоторых вычислений, например, при определении среднего
углового движения п по заданной большой полуоси орбиты а и наоборот, при
решении уравнения Кеплера и т. д. можно рекомендовать специальные
таблицы, имеющиеся в [1], [3].
Глава 3
УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ
Способы, изложенные в предыдущей главе, позволяют получить лишь
предварительную орбиту. Ошибки элементов такой орбиты обусловлены
недостаточной точностью наблюдений, потерей точности при вычислениях.
