Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
причем ___
л==л/-^'
а и т - постоянные интегрирования; а характеризует наибольшее удаление
тела Р от Я0, х-момент времени, когда г - 0.
230.
Ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
IS 2.08
3. Случай Л > 0. Радиус-вектор задается формулой
г = a (ch Н - 1), где Н определяется из уравнения
sh Н - Н = п {t - т),
(2.2.65)
(2.2.66)
причем п =
п= , а их - постоянные
а и т - постоянные интегрирования.
Замечание. Приведенные формулы показывают, что прямолинейные движения при
h ф 0 можно рассматривать как вырожденное эллиптическое (h < 0) и
вырожденное гиперболическое движение (h > 0), когда е = 1.
§ 2.06. Вычисление эфемерид планет и комет
Эфемеридой называется совокупность геоцентрических положений небесного
тела для ряда равноотстоящих моментов времени.
В случае гелиоцентрического движения за основную плоскость принимают
плоскость эклиптики, а за основное направление - направление на точку
весеннего равноденствия. Поэтому элементы Я, i, со будут отнесены к
плоскости эклиптики и точке весеннего равноденствия.
Обозначим через р, а, 6 соответственно геоцентрическое расстояние
небесного тела, прямое восхождение и склонение небесного тела. Для
вычисления этих величин будем иметь следующие уравнения:
Здесь X, У, Z - геоцентрические прямоугольные экваториальные координаты
Солнца, ? и т] - орбитальные координаты небесного тела,
где е - наклон эклиптики к экватору, а Рх, Ру......Qz даются
формулами (2.2.15) и (2.2.16).
Значения X, У, Z приводятся в ежегодниках, а формулы для вычисления
орбитальных координат ? и т) в случае эллиптического, гиперболического и
параболического движений были рассмотрены в §§ 2.01-2.04.
(2.2.67)
Вг = Qy sin е + Qz cos е,
(2.2.68)
(2.2.69)
Глава 3
РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ
При рассмотрении невозмущенного кеплеровского движения, а также в теории
возмущений (ч. IV, гл. 6) возникает необходимость в явных выражениях
координат невозмущенного движения (а также различных функций от
координат) через время, истинную, эксцентрическую и среднюю аномалии. В
подавляющем большинстве случаев этого удается добиться только при помощи
различного рода разложений в ряды (в первую очередь тригонометрические).
Способы разложения в ряды описаны во многих курсах небесной механики,
например, в [1] - [5]. Коэффициенты наиболее употребительных рядов
табулированы [17], [18].
Ниже приводятся основные разложения, чаще всего используемые на практике.
§ 3.01. Разложение функций эксцентрической аномалии
в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии
Общее решение задачи двух тел (см. формулы гл. 2) дает координаты тела Р
в виде неявных функций времени. Приведенные в главе 2 формулы позволяют
достаточно просто вычислять координаты и составляющие скорости для всех
типов невозмущенного движения. Однако в некоторых случаях необходимо
иметь выражения для координат в виде явных функций времени. Поскольку
связь между координатами и временем устанавливается через посредство
вспомогательных переменных типа эксцентрической аномалии Е, связанных со
временем t при помощи трансцендентных уравнений, такие выражения могут
быть получены только в виде рядов*).
В небесной механике известны два вида разложений координат эллиптического
движения, пригодных для исследования движения на всем бесконечном
промежутке времени.
*) ^вные выражения для координат в конечном виде можно получить только в
некоторых частных случаях, таких, например, как круговое движение и
прямолинейное движение "параболического" класса.
232
Ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[§ 3.01
а) Разложения в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии М.
Коэффициентами этих рядов являются некоторые функции эксцентриситета е.
Эти ряды сходятся (но не абсолютно!) для всех М при 0<е< 1 и для всех М
при
0 s?i е <. е* (абсолютно), где
называется пределом Лапласа.
б) Разложение в ряды по степеням эксцентриситета. Коэффициенты этих рядов
суть некоторые периодические функции М. Ряды эти абсолютно сходятся для
всех М и для всех е, не превосходящих предела Лапласа.
Коэффициенты тригонометрических рядов только в редких случаях могут быть
выражены через элементарные функции. В общем случае они довольно просто
выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило,
приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и
пользоваться только их первыми членами.
Приведем разложения наиболее часто употребляемых функций эксцентрической
аномалии в ряды Фурье по кратным средней аномалии.
1) Разложение для эксцентрической аномалии:
е' = 0.6627434193492...
оо
(2.3.01)
2) Разложение для cos Е и sin Е:
оо
cos ? = - 4 + ? cos kM, (2.3.02)
cos kM, (2.3.02)
oo
3) Разложение для cos mE и sin mE:
oo
cos mE - ^ -j- [/*_m (ke) - Jk+m (ke)\ cos kM, (2.3.04)
oo
где m - целое число, большее единицы.
§ 3.01] ГЛ. 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 233
4) Разложение для радиуса-вектора т\
оо
-1=1 ?- е ^ Jb+i(ke) - Ik-Лке)
