Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний,
аналитической и качественной небесной механике. Впервые они были
опубликованы в докторской диссертации А. М. Ляпунова [7]. Укажем также на
издания [8], [32], [71-73], содержащие подробное изложение как основных
теорем Ляпунова, так и результатов многих его последователей.
§ 3.02. Определение орбитальной устойчивости
Определение 1. Если решение x(t) существует при а ^ t ^ Ь, то множество
точек L = {*(/); а ^ t ^ Ь) называется траекторией.
Определение 2. Положительной полутраекторией называется множество точек
L+{x(t)\ to^t<Z°°}, отрицательной полутраекторией - множество точек L-
{x(f), - оо < t ^ /0).
Определение 3. Расстоянием точки х е /?" до некоторого множества L d Rn
называется величина
р (ж, L) = inf |[ * - у || (10.3.09)
j/ei
[р (дс, L) - расстояние точки х до "ближайшей" точки множества L],
832
Ч. X, КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 3.03
Определение 4. Решение x(l) (ta^.t<C оо) уравнения (10.3.01) называется
орбитально устойчивым при /-> оо, если для любого е > 0 существует б =
6(е, to) > 0 такое, что при
|| х {t0) - х (t0) || < б
выполняется неравенство р (дс (t), L+) < в при t0^t<°°, где L+ = {x(t),
/0</<о°}. _
Если к тому же lim р (*(/), L+) = 0, то решение асимптоти-
/-> оо
чески орбитально устойчиво.
Замечание. Из устойчивости решения вытекает его орбитальная устойчивость,
но не наоборот.
§ 3.03. Другие определения устойчивости
Определение устойчивости по Лагранжу. Пусть Gп - область конечных
размеров, принадлежащая п-мерному евклидову пространству Rn. Будем
считать, что G" имеет конечные размеры, если для любых же Gn, у е Gn
II* - У II < с, (10.3.10)
где С - некоторая постоянная.
Частное решение x(t) уравнения (10.3.01) называется устойчивым по
Лагранжу, если выполнены условия
x(f0)e=Gn, *(()eG", t>t0. (10.3.11)
Условия (10.3.11) означают ограниченность решения x(t) для всех значений
t ^ to.
Область сплошной устойчивости по Лагранжу - это область, состоящая только
из траекторий, устойчивых по Лагранжу.
Определение устойчивости по Пуассону. Частное решение x(t) уравнения
(10.3.01) устойчиво по Пуассону, если точка М, описывающая траекторию, за
бесконечное время проходит бесконечное число раз через сколь угодно малую
окрестность начальной точки М0.
Устойчивость по Пуассону траекторий получила большое развитие в теории
динамических систем [41].
Определение устойчивости по Хиллу. Плоская ограниченная круговая задача
трех тел имеет интеграл Якоби (5.2.07). Если постоянная интеграла Якоби С
больше C(L2) [С(L2) - значение постоянной интеграла Якоби для точки
либрации ?г], то область возможности движения третьего тела
§ 3.03J
ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
(рис. 115) состоит либо из одной овальной области, содержащей точки Р0 и
Р1 [при C(L2)< С < C(Li)], либо из двух овальных
содержит тело Р0, а другая -Pi
областей, одна из которых (при С* > C(Li)), и области, внешней
относительно кривой, расположенной за пределами всех точек либрации
(кривая С*).
Если С > C(L2) и начальная точка траектории находится в одной из этих
овальных областей, то траектория называется устойчивой по Хиллу. В
частности, таковыми являются спутниковые орбиты при /е(-оо,оо) [для них
C*>C(L,)>C(L2)].
Определение устойчивости по Я к о б и. Пусть дана система
дифференциальных уравнений четвертого порядка
dx
О-
О-
d2x _ Г dx_ dy_
dt2 dt * dt d2y _ p (r .. dx_ dy_
dt1 -r2\x' У' dt ' dt обладающая "интегралом энергии"
Пусть имеются два решения:
X = (t), у = г/(0) (/),
х = х(r) (/) + бх (0; у = у(0) (0 + ду (О,
(10.3.12)
(10.3.13)
(10.3.14)
(10.3.15)
определяемые близкими начальными условиями и принадлежащими одному и тому
же изоэнергетическому семейству (для них h одно и то же).
Траектория (10.3.14) называется устойчивой в смысле Якоби, если любая
траектория (10.3.15) с возрастанием t сближается с первой (точнее,
порядок величины расстояния между ними выше первого порядка малости).
Понятия устойчивости в смысле Хилла и Якоби специально приспособлены для
исследования поведения решений ограниченной задачи трех тел.
Определение устойчивости но Хиллу и Якоби впервые ветре* чается у
Пуанкаре, однако наиболее корректные определения
27 Под ред. Г. Н, Дубошина
834
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS 3.04
и, главное, наиболее общие качественные результаты в проблеме трех тел,
связанные с ними, содержатся в работах Дж. Биркгофа [74], Н. Д. Моисеева
[75], [76] и В. В. Степа* нова [77].
В литературе встречаются различные определения устойчивости на конечном
промежутке времени, и интересующемуся читателю можно указать работу [78].
§ 3.04. Знакопостоянные и знакоопределенные функции.
Полная производная в силу системы
Рассмотрим полицилиндр К - [Т < t < оо, ||дс|| < а] в (га+1)-мерном
пространстве Gn+l = Gn X Л, Gn есть га-мерное евклидово пространство, h =
{- 00 < t < °°)- Пусть вещественная непрерывная скалярная функция V (х,
