Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
времени, на котором теория обеспечивает заданную точность при условии,
что в рядах сохранено заданное число членов.
Теорема Пуанкаре о ранге [70]. Если невозмущенные средние движения пи
п2......nh-i - в планетном варианте за-
дачи k тел (задача о движении k - 1 планет) несоизмеримы, то-.
1) в разложениях для возмущений канонических элементов Пуанкаре Z.,-,
Xi, gj, rjj любого порядка отсутствуют члены, имеющие отрицательный ранг;
2) ранг каждого смешанного члена больше или равен единице-,
3) возмещения 6Li не содержат членов нулевого ранга.
Здесь i=l,2, ..., k - 1; / = 1, 2.....2k - 2. Относительно
канонических элементов Пуанкаре см. ч. IV, § 2.08.
Теорема Пуанкаре о классе. Если невозмущенные средние движения
несоизмеримы, то:
1) класс каждого члена в возмущениях любого порядка эле~ мента Xi
неотрицателен-,
2) класс каждого члена в возмущениях любого порядка для элементов Li,
?j, ц;- не меньше 0,5.
Обобщение теоремы Пуанкаре о ранге для переменных, являющихся
ограниченными по времени и аналитическими функциями первой системы
канонических элементов Пуанкаре, дано в [142].
826
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS 2.П
§ 2.11. Поиск частных, первых и общих интегралов
заданной аналитической структуры обыкновенных
дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Приложение к ограниченной задаче трех тел
Пусть имеется гс-мерное дифференциальное уравнение
¦% = Y(x,y), (10.2.41)
где у = (уиу2......уп), У = (Уи Y3, Y") - точки л-мерного
евклидова пространства Rn, х - скалярная независимая переменная, л:е(-оо,
оо). Введем в рассмотрение (п -f 1) -мерное евклидово пространство
= 00. °°) и обозначим через Р0 множество начальных точек (х0, г/о)е
/?n+i-Пусть, кроме того, все интегральные кривые, порожденные начальной
областью Ро для всех х ^ х0, составляют многообразие Щх,у(х)).
Очевидно,
PQczMcz Rn+l.
Будем считать, что вектор У удовлетворяет в М условиям теоремы Коши
[104].
Наряду с уравнением (10.2.41) рассмотрим систему функциональных равенств
Fk(x,y,aua2.......a J = 0 (А = 1, 2.....s<n). (10.2.42)
Пусть Fh{x,y\ а\,а2.....ат) таковы, что при любом наборе
вещественных параметров аи а2, , ат они определены на
многообразии М вместе со своими частными производными dFk dFk
и имеют априори заданную аналитическую структуру, содержащую неизвестные
параметры аи а2, ..., ат.
Правомерна постановка следующих задач.
Задача 1. Пусть s= 1, и, следовательно, система (10.2.42) сводится к
одному функциональному равенству с неизвестными параметрами ai, а2, ...,
ат. Найти критерий, основанный на методах численного интегрирования,
позволяющий утверждать, что равенство (10.2.42) является частным
интегралом уравнения (10.2.41).
Задача 2. Ее формулировка подобна формулировке задачи 1 с той лишь
разницей, что вместо частного интеграла отыскивается первый интеграл
уравнения (10.2.41).
Задача 3. Пусть s = п. Найти критерий, позволяющий утверждать, что
система п функциональных равенств (10.2.42) представляет общий интеграл
уравнения (10.2.41).
S 2.12]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
827
Методы решения задач 1-3 изложены в [117]. Электронно-вычислительные
машины используются для составления и решения функциональных уравнений,
неизвестными в которых суть аи а2, ..., ат. Эффективность этих методов
целиком определяется возможностями математического обеспечения ЭВМ.
С помощью таких методов было доказано, в частности, что
(-§~)2 не может быть представлена [118] в виде отношения двух
полиномов от тригонометрических и гиперболических функций cos v, sin v,
ch и, sh и, где и, и - эллиптические переменные (см. ч. V, §§ 2.07,
2.08).
§ 2.12. Поиск решений уравнения Гамильтона - Якоби на ЭВМ. Приложение к
ограниченной задаче трех тел
Рассмотрим уравнение Гамильтона - Якоби для задачи с двумя степенями
свободы вида
Пусть функции Th имеют априори заданную аналитическую структуру
+ М?ь Ч^ + ЬЛЧ 1. Q2)j^ + U(qb q2) = h. (10.2.43)
Оно может быть приведено к виду
2
j M?1. + I. ?2)]2 = Ф(?1> ?2), (10.2.44)
I__1 L ft J
где
С помощью обозначений
Tk = ^-kJrfk(qu ?2) (*=1, 2)
(10.2.46)
уравнение (10.2.44) приводится к системе
2
S ak(qvq2)Tl = 0(qv q2), k=* 1
(10.2.47)
дТi дТ2 dfi дг*
dq 2 dqi dq2 dq i
828
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS 2.12
с неизвестными параметрами а^, af\ Чтобы проверить
гипотезу о существовании аналитической структуры для 7* вида (10.2.48),
нами предложен метод [117], который сводится к решению методом Рунге -
Кутта [119] системы обыкновенных дифференциальных уравнений (а не
уравнений в частных производных) и к применению теоремы Гамильтона -
Якоби (см.
ч. IV, § 1.20). Как и в § 2.11, эффективность метода зависит от
возможностей математического обеспечения ЭВМ.
В частности, было доказано, что частные производные
, входящие в уравнение Гамильтона - Якоби для плоской ограниченной
круговой задачи трех тел (5.2.56), не могут иметь следующие аналитические
структуры:
а) в виде квадратных радикалов от полиномов относительно cos v, sin v,
