Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
t) задана в К.
Определение 1 [32]. V (х, t) называется знакопостоянной (знакопостоянно
положительной или знакопостоянно отрицательной) в К, если
V (х, t)^s 0 (или V (ж, t) < 0)
при (дс, t) е К.
Определение 2. V(x,t) называется знакоопределенно положительной в К, если
существует непрерывная функция W(х) при ||xi| < а такая, что
V (х, t) > W (х) > 0 при i| х |[ ф 0,
V(0, 0 = ^(0) = 0.
Определение 3. V(x,t) называется знакоопределенно отрицательной в К, если
существует непрерывная функция W (х) при 11*11 < а такая, что
V(x, t)^~W(x)<0 при 11*11=^0,
V(Q, t) = W(Q) = Q.
Определение 4 ';7|. Функция V(х, t) имеет бесконечно малый высший предел
при X-+-0, если для любого е > 0 существует б(е)'>- 0 такое, что
| V (х, t) | < е
при || х II < б и t е [tQ, оо], где tD > Т.
Из определения 4 следует, что V(x, t), допускающая бесконечно малый
высший предел при х->0, ограничена в полицилиндре Ко = {*о < t < оо,
Цдс|| < а} сг К.
Пусть имеется система га дифференциальных уравнений
?=*X(x,t) (10.3.16)
5 3.05]
ГЛ, 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
835
такая, что -?(0, t) = 0 и вектор-функция Х(х, t) непрерывна вместе с
частными производными первого порядка в полицилиндре К* = {Т < t < оо,
||*|| < А, А > а}, т. е. К cz К*. Очевидно, что уравнение (10.3.16)
допускает тривиальное решение * = 0. Будем его называть невозмущенным
движением, а всякое другое решение - возмущенным движением.
Если система (10.3.16) имеет частное решение x*(t), то с помощью замены
z (0 = * (0 - ** (t) она преобразуется в систему
% = Z(z, t)., Z (г, t) = X (х +z,t)-X (**, t),
имеющую тривиальное решение z(f) = 0.
Отсюда следует, что задача об устойчивости произвольного частного решения
эквивалентна задаче об устойчивости тривиального решения.
Пусть, кроме того, вещественная функция V(x, t) непрерывна вместе с
частными производными первого порядка в полицилиндре К.
Определение 5 [7]. Функция V(*, t), определяемая равенством
П
V (х, t) =If + ? ~ Xt(x, t) ^+ (grad V, X), (10.3.17)
i=l 1
называется полной производной no времени t функции V (*, t) в силу
системы (10.3.16).
§ 3.05. Теоремы Ляпунова об устойчивости
Первая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная
функция V (*, t) такая, что ее полная производная V(x, t) по t в силу
системы (10.3.16) является знакопостоянно отрицательной, то ее
тривиальное решение х - 0 устойчиво в смысле Ляпунова при t -> -f- оо.
Вторая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная
функция V{x,t), допускающая бесконечно малый высший предел при *->-0 и
такая, что ее полная производная V{x,t) по t в силу системы (10.3.16)
является знакоопределенно отрицательной, то ее тривиальное решение х = 0
асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t -> оо.
Третья теорема. Пусть в К V(x, t) допускает бесконечно малый высший
предел при х -> 0 и имеет знакоопределенную
27*
836
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[9 3.08
производную V(x, t) по t в силу системы (10.3.16). Если при некотором t0>
Т в любой окрестности ||х||< А ^ а найдется точка (*о, tg), в которой
выполняется неравенство
V (х0, t0) ¦ V (х0, t0) > 0, (10.3.18)
то тривиальное решение х = 0 системы (10.3.16) неустойчиво
в смысле Ляпунова при t -> оо.
Замечание 1. Во всех теоремах область определения
функции X (х, t), вообще говоря, больше области определения
функции V(x,t). Это условие задано включением К с К*.
Замечание 2. В третьей теореме V(x,t) не обязательно знакоопределенная
функция.
Замечание 3. Как заметил Н. Г. Четаев [71], для того чтобы тривиальное
решение х - 0 было неустойчивым, достаточно наличия хотя бы одного
решения, исходящего из каждой, сколь угодно малой окрестности начала х ==
0 и выходящего за пределы фиксированной окрестности. Тем самым условия
третьей теоремы Ляпунова могут быть ослаблены, что и сделал Н. Г. Четаев
(см. теорему Четаева в [32], [71]).
Пусть
Х(х, /) = Л* + Ф(*, /), (10.3.19)
где А - постоянная (л X л)-матрица, и вектор-функция ф(де, /) такова, что
"Ф||^'ц^' ПРИ *-*0 стремится к нулю равномерно по t.
Тогда справедлива следующая теорема, составляющая основу первого метода
Ляпунова.
Теорема. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные
вещественные части, то тривиальное решение х = 0 системы (10.3.16)
асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t -> +0О.
§ 3.06. Устойчивость по отношению к части переменных.
Теорема В. В. Румянцева
Рассмотрим ^-мерный вектор 0(x,t) (k ^ п) и обозначим через у вектор
у = ф(х, 0-Ф(0, о- (10.3.20)
Определение. Тривиальное решение х = 0 называется устойчивым в смысле
Ляпунова по отношению к вектору Ф, если для любого е>0 существует 6(e)
>0, что при любых начальных нормах, удовлетворяющих условию
|1*(0)11<в,
s 3.07] ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ 837
выполняется неравенство
IIУ if) II < е
при всех t^tо.
Если k = п, то предыдущее определение сводится к определению 1 из § 3.01.
Такое определение известно в литературе как определение устойчивости по
