Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
сходиться для любого <е(-оо, оо), если еи е2 и sin2-g- не превышают
некоторые
положительные пределы.
Если П\ и п2 - иррациональные числа, то для любой пары таких чисел
наверняка существуют такие целые индексы kx и k2, что |к\П\ + k2n2\ < а,
а - произвольное положительное число. Это обстоятельство ставит под
сомнение сходимость ряда
(10.2.33) для любых t, сколь угодно близких к начальному моменту t0 и
для любых сколь угодно малых значений еи е2, sin2 у.
§ 2.09]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
823
Рассмотрим ряд
II
r = \k1 - k2\,
(10.2.34)
I Ai + k2\ '
в котором суммирование ведется по k\ и k2, удовлетворяющим условию
Очевидно, что ряд (10.2.34) является мажорантным для той части ряда
(10.2.33), для которой k\k2<0. Лишь только эта часть ряда представляет
интерес с точки зрения сходимости.
Пусть ряд X Z Кк&З' сходится при |р| < 1.
Теорема Брунса. Значения v, для которых ряд (10.2.34) сходится, и
значения v, для которых ряд (10.2.34) расходится, образуют всюду плотное
множество на вещественной оси (-оо, +оо).
Из теоремы Брунса, однако, не следует, что точки расходимости ряда
(10.2.33) также образуют всюду плотное множество, хотя точки сходимости
образуют такое множество. Как оказывается, точки расходимости ряда
(10.2.34) нарушают лишь равномерную сходимость рядов вида (10.2.33) (член
CY-f-Eo не рассматриваем). Подробности см. в [68], [69].
Рассуждения Брунса относятся к классической теории возмущений первого
приближения, когда невозмущенная орбита суть кеплеровский эллипс. В этом
случае k\П\ -f- k2n2 не зависит от малого параметра ц (см. § 1.03). При
построении высших приближений или при построении решений в окрестности
данного периодического решения знаменатели типа k\H\ -f~ k2n2 будут
зависеть от ц таким образом, что
причем радиус сходимости рядов (10.2.35) для некоторых наборов ki и k2
будет сколь угодно мал.
Отсюда вытекает, что и в целом ряды, представляющие возмущения, будут
степенными рядами относительно Vрасходящимися на оси ц. Пуанкаре доказал
[2], что такие ряды являются асимптотическими, так как
оо
(10.2.35)
(10.2.36)
824
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
{§ 2.09
для любого целого s > 0. В (10.2.36) через^ обозначен весь бесконечный
формальный ряд по степеням V И > через Ф5 - сумма его первых s членов.
Желание многих астрономов построить теории движения небесных тел в
"тригонометрической форме", подразумевая под этим представление
позиционных переменных (большие полуоси, эксцентриситеты, наклоны и их
аналоги) в виде сумм периодических функций времени, а угловых переменных
(долготы, аномалии и их аналоги) -в виде сумм линейных функций времени и
сумм периодических функций, привело к разработке общего метода построения
решений канонических систем с периодическим по угловым переменным и
аналитическим по ц гамильтонианом, названного Пуанкаре "методом
Линдштедта" [2]. Начало этого направления было положено Лапласом, а
завершенное развитие его мы получили благодаря Пуанкаре.
Сущность этого метода такова. Пусть имеется каноническая система
dpi дН dq, дН
Pl - '---------- (г = 1,2.........k), (10,2.37)
где
dt dql ' dt др{
ОО
Я (р, q, ц) = Я о (р) + Z Ц*Я,(Р, Ч),
.4= I
Я (р, q + (2л), (X) = Я (р, q, (х).
Решение системы (10.2.37) отыскиваем в виде
Pi = р?] + М1' + РгР?) + +М'У,*) +
9< = 9(°> + ц9(1> + ц2<7<2)+ ... +Ц^> +
(10.2.38)
(10.2.39)
причем коэффициентам разложений (10.2.39) заранее придаем форму
р((r)) == ? A cos ast + Е В sin ast + С, q<s) = ? D cos ast + ? E sin ast +
Ft+ K,
(10.2.40)
где A, B, ..., К - величины, зависящие только от начальных данных, as -
величины, разлагаемые в ряды по степеням ц.
Ньюкомб, Линдштедт и Пуанкаре детально разработали формальную сторону
метода построения решений (10.2.39) как в случае общих канонических
систем, так и з случае задачи
§ 2.10]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
825
трех тел. Кроме того, Пуанкаре [2] исследовал вопросы сходимости рядов
(10.2.39) и доказал, что из-за появления "малых знаменателей" вида
Sjrt j -j- $2^2 "Ь • ¦ • "I" sknh
(п 1, п2..nh - средние движения планет в планетной задаче,
Si, S2, ..., Sa - целые числа) они, вообще говоря, расходятся. Но имея
асимптотический характер, эти ряды с успехом могут применяться при
изучении движений небесных тел на конечных интервалах времени, если их
обрывать до появления в ряде первого малого знаменателя.
В заключение отметим, что вопросы сходимости (точнее, расходимости) рядов
Линдштедта в ограниченной задаче трех тел изучены исчерпывающим образом
Г. А. Мерманом [44].
§ 2.10. Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений
В § 8.01 ч. IV дано определение ранга и класса возмущений. Пуанкаре
установил две теоремы о ранге и классе возмущений произвольного порядка в
классической теории возмущений. Эти теоремы, по существу, указывают на
асимптотический характер рядов теории возмущений не только в первом
приближении. Они могут быть с успехом применены для оценки промежутка
