Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(массы тел, начальные условия и др.), то данную задачу также можно
отнести к интегрируемым задачам. Для задачи трех тел такое решение
найдено Зундманом (см. § 2.05). Основные трудности, которые возникают при
отыскании решения в виде степенных рядов, связаны с устранением
особенностей в дифференциальных уравнениях, возникающих из-за возможности
столкновения двух или большего числа тел (см. § 2.04).
812
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS 2.01
Другая, качественная трактовка проблемы интегрируемости, получившая
развитие в наше время, понимается как построение универсальной
классификации всевозможных решений по различным свойствам и связанное с
этим разбиение всего фазового пространства на области, содержащие
движения, принадлежащие только одному классу. При этом сами решения в
случае надобности могут быть найдены приближенно либо аналитическими,
либо численными методами.
Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной
механики, понимая под этим нахождение приближенного решения,
удовлетворительно представляющего наблюдения и охватывающего практически
приемлемый промежуток времени. В этом смысле все задачи небесной механики
интегрируемы, особенно в связи с большими возможностями электронных
вычислительных машин. Использование методов теории возмущений (см. ч. IV,
гл. 9) обусловливает появление асимптотических расходящихся рядов.
Практика построения теорий движения тел Солнечной системы, накопленная в
небесной механике на протяжении двух столетий, говорит в пользу
применения таких рядов в конкретных задачах.
§ 2.01. Теорема Пуассона
об интеграле гамильтоновой системы
Пусть задача описывается гамильтоновой системой 2п-го порядка
где H(q,p, t) - известная функция q, р и t.
Определение. Скобкой Пуассона двух скалярных функций
^ 1 {Q\i ?2> ¦ ¦ ¦ I Qm Pit Р2г ¦ ¦ ¦ > Рп) И F2{(ji, ?2> ¦ ¦ ¦ 1 Qn, PiI
¦ • ¦ 1 Рп) называется выражение
s**l
Теорема Пуассона. Если Fi = С] и F2 = С2 являются двумя первыми
интегралами системы (10.2.01), то выражение (PuF2)- С либо представляет
собой первый интеграл системы
(10.2.01), либо является тождеством.
К сожалению, в задачах небесной механики теорема Пуассона не позволяет
получить новые первые интегралы, так как она приводит к тем же известным
интегралам или к их комби-
§ 2.02}
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
813
нации. Она может быть использована лишь для формального построения нового
интеграла, не представляющегося конечным выражением (см. [56], [57]), а
рядом, сходимость которого не установлена, например, адельфического
(родственного) интеграла (см. [58]).
§ 2.02. Теорема Брунса о несуществовании
алгебраических первых интегралов задачи трех
тел, отличных от классических
Прежде чем сформулировать теорему Брунса, приведем несколько лемм,
имеющих самостоятельный научный интерес. Эти леммы также принадлежат
Брунсу [58].
Лемма 1. Если дифференциальные уравнения задачи трех тел имеют
каноническую форму (10.2.01), то всякий алгебраический интеграл системы
(10.2.01), не зависящий явно от t, имеет вид
R(q,p,u) = C, (10.2.03)
и = ^oi + г02 + Пг. (10.2.04
где R(q,p, и) - рациональная функция переменных q, р, и.
Лемма 2. Всякий алгебраический интеграл системы
(10.2.01), не зависящий явно от t, является алгебраической комбинацией
интегралов вида
РрХ',рЛ ~с- >10-205*
где Pi, Р2 - многочлены относительно q, р, и, обладающие некоторой
однородностью, а именно-.
Pi (xV х~'р, x2u) s= (qt Pt u),
P2{x2q, vrxp, H2u)s=xrP0(q, p, u).
Л e м м a 3. Всякий алгебраический интеграл дифференциальных уравнений
движения задачи трех тел вида (10.2.01), не зависящий явно от времени,
является алгебраической комбинацией классических интегралов.
Заметим, что леммы 1-3 установлены Брунсом для задачи п > 2 тел, а не
только для задачи трех тел.
Л е м м а 4. Всякий зависящий явно от t алгебраический интеграл задачи
трех тел является алгебраической комбинацией алгебраических интегралов,
не содержащих явно t, и интегралов вида t - ср = с, где ф -
алгебраическая функция переменных q\ р' (q', р' - канонические переменные
из § 1.14 ч. IV, где они обозначены через q и р).
814
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 2.03
Теорема Брунса. Всякий алгебраический интеграл задачи трех тел имеет вид
F(Iu /2......Л о) - С, (10.2.06)
где /ь /2, ..., /ю - левые части классических интегралов, данных
формулами в §§ 1.14 и 1.17 ч. IV, a F - алгебраическая функция аргументов
1\, ..., 110.
Замечание. Теорема Брунса утверждает, что не существуют другие ннтегралы,
алгебраические относительно канонических переменных, введенных в §§ 1.14,
1.17 ч. IV, а следовательно, и относительно прямоугольных координат в
инерциаль-ной системе отсчета и их производных, так как последние
выражаются через указанные канонические переменные алгебраическим
образом. Но из этого вовсе не следует, что вообще отсутствуют какие-либо
алгебраические интегралы.
Пенлеве распространил лемму 4 на задачу п > 3 тел. Подробное изложение
