Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
[16], рассматривающих существование шварцшиль-довских периодических
решений в пространственных неограниченной и ограниченной задачах трех
тел. Аналогичное семейство периодических решений найдено Е. П. Аксеновым
[90]. В этой же задаче, исходя из орбит задачи двух неподвижных центров,
В. Г. Демин установил существование периодических орбит, замыкающихся
после нескольких оборотов [18]. Семейства периодических решений конечных
размеров в окрестности точек либрации найдены Мультоном [17]. А. А.
Орловым найдены новые классы периодических решений в ограниченной задаче
трех тел [91]. Наконец, имеется статья монографического плана Г. А.
Чеботарева [19], содержащая, помимо оригинальных результатов автора,
историю вопроса.
Описанные выше результаты относятся к ньютоновской задаче трех
материальных точек, а не тел конечных размеров. В связи с запросами
астродинамики возникла необходимость построения периодических решений в
задачах с гравитационными полями, создаваемыми телами конечных размеров.
В работе [92] Е. П. Аксенов и В. Г. Демин установили существование
.почти-эллиптических периодических относительно "регулярнзирующего
времени т" экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное
тело обладает динамической симметрией и медленным {по сравнению со
средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют
двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго
сорта. В. Г. Деминым найден класс почти-круговых периодических решений
[87] в задаче о движении спутннка в гравитационном поле, порожденном
притяжением сфероидальной планеты и двух точечных масс, двигающихся по
круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях, больших чем максимальное
планетоцентрическое расстояние спутника. В этой же монографии можно найти
оо2 семейство периодических движений {относительно "ре-гуляризирующего
времени т") лунного спутника.
Вопрос о существовании периодических решений в спутниковой задаче с
критическим наклоном {sin2 i - 0,8) изучен А. А. Орловым [93].
§ 1.04. Периодические решения, полученные
методом Ляпунова
Метод Ляпунова, изложенный в § 1.02, получил завершенное применение в
исследованиях Г. Н. Дубошина [20], [21] и
А. И. Рыбакова [22]-[25] по построению аналитических теорий движения
спутников в спутниковых системах, и, в частности, в системе Сатурна.
796
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[$ 1.04
Рассматривалась механическая модель, состоящая из центрального тела -
однородного эллипсоида вращения (Сатурн), однородного плоского кругового
кольца (кольцо Сатурна), восьми однородных, одномерных, круговых колец
(заменяющих спутники) и материальной точки - Солнца, двигающейся,
согласно законам Кеплера, по эллипсу, фокус которого совпадает с центром
Сатурна.
Полная силовая функция U задачи о движении спутника является суммой
одиннадцати силовых функций и может быть представлена, как показал Г. Н.
Дубошин [20], в виде
U = U' + U". (10.1.23)
Функция V' = U'(p,z), U'(p, - z) = U'(p,z), зависит только от двух
цилиндрических координат р, z (не зависит от долготы), причем является
четной функцией относительно z. Функция U"(p, I, г, t) представляет
остальную часть функции U. Поскольку силовые функции колец и эллипсоида
вращения не зависят от долготы I, отсюда следует, что
2Л
и',==и°--к\ U°dl' (Ю.1.24)
о
где - силовая функция, обусловленная притяжением Солнца.
Модельная задача с силовой функцией V имеет [20] плоские и
пространственные периодические решения вида (10.1.17) - (10.1.20), для
нахождения которых используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле.
Полная задача может иметь периодические решения только в том случае, если
период обращения Сатурна вокруг Солнца и период периодического решения
модельной задачи для спутника, зависящего от постоян-
ной с, соизмеримы.
Для построения этих периодических решений целесообразно применять метод
Пуанкаре. В общем случае полная задача не имеет периодические решения,
близкие к "ляпуновским" периодическим решениям.
Конкретные вычисления для системы Сатурна, выполненные
А. И. Рыбаковым [22]-[25], дали удовлетворительное согласие с
многочисленными наблюдениями спутников Сатурна, проведенными Германом и
Георгом Струве [94], [95] на протяжении почти полстолетия с 1880 по 1928
г.
Некоторые семейства периодических решений в окрестности точек либрации
изучены Ю. А. Рябовым [26].
S l.OS] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 797
§ 1.05. Периодические решения, полученные
качественными методами
Методы Ляпунова и Пуанкаре (§§ 1.01, 1.02) суть аналитические методы
построения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Второе направление - это установление существования
периодических решений методами качественной теории.
Первая работа подобного характера принадлежит Е. Уиттекеру [27] и
опирается на рассмотрение действия в смысле Якоби для гамильтоновых
систем с двумя степенями свободы. В этом случае положение точки в
