Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
М, 1933.
27. Грушинский Н. П., Теория фигуры Земли, Физматгиз, М., 1963.
28. Огородников К. Ф., Динамика звездных систем, Физматгиз, М., 1958.
29. М о р о з о в В. М., Устойчивость движения космических аппаратов,
сер. "Итоги науки", М., 1971.
30. Likins P. W" Wrout G. М., AIAA Journal 7, 6, 1134-1139, 1969.
31. А н ч е в А. А., Космич. исслед. 4, № 2, 192-202, 1966.
32. Дубошин Г. Н., Бюлл. Ин-та теор. астрон. АН СССР 7, № 7, 511-520,
1960.
33. Черноусько Ф. Л., Прикл. матем. и мех. 28, № 1, 155-157, 1964.
34. Колесников Н. Н., Прикл. матем. мех. 30, № 3, 589-593, 1966.
35. Морозов В. М., Космич. исслед. 7, № 3, 395-401, 1969.
36. Морозов В. М., Космич. исслед. б, № 5, 727-732, 1967.
37. Румянцев В. В., Космич. исслед. 6, № 5, 643-648, 1968.
38. Капе Т. R., AIAA Journal 4, 8, 1391-1394, 1966.
39. Сарычев В. А., Космич. исслед. 3, № 5, 667-673, 1965.
40. М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения (дополнение IV
Н. Н. К р а с о в с к о г о), М., "Наука", 1966.
41. Крементуло В. В., Прикл. матем. и мех. 30, № 1, 42-50, 1966.
42. Сарычев В. А., Сб. "Искусств, спутники Земли", вып. 16, 10-33,
Из/t-
во АН СССР, 1963.
Часть X
КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Глава 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. ФИНАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
В этой главе приведены три фундаментальных метода качественного анализа:
метод малого параметра А. Пуанкаре, метод А. М. Ляпунова и метод
исследования гамильтоновых систем
А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Эти способы позволяют
устанавливать существование периодических и условно-периодических решений
в задачах небесной механики. Кроме того, изложены результаты об
исследовании финальных движений в задаче трех тел и проблемы захвата.
§ 1.01. Метод малого параметра Пуанкаре
Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение
где х(хиХ2, хп)- я-мерный вектор фазовых координат, X(Xi, Хъ, ..., Х")-
я-мерная аналитическая вектор-функция е (- се, се), х е Gn, |iejH и
периодическая по t с периодом Т, t - скалярный аргумент, ц - скалярный
параметр.
Кроме (10.1.01) рассмотрим векторное уравнение
называемое порождающим, или упрощенным, для уравнения (10.1.01).
Пусть векторному уравнению (10.1.02) удовлетворяет периодическая вектор-
функция
¦§¦ = X(t,x, ц),
(10.1.01)
(10.1.02)
(10.1.03)
(10.1.04)
s 1.01] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 789
Сущность метода Пуанкаре состоит в определении необходимых и достаточных
условий существования Г-периодического решения уравнения (10.1.01),
близкого к решению <p(() в том смысле, что оно при ц = 0 обращается в
ср(/).
Пусть искомое решение представляется векторным равенством
*(0 = Ф(*. (х, Р), (10.1.05)
где я-мерный вектор р характеризует разность начальных условий для
решения Ф(^, [х, р) и порождающего решения <p(f). т. е.
Р = *(0) - ф(0). (10.1.06)
Заметим, что периодического решения х(/) = Ф(?, [х, р), удовлетворяющего
начальному условию лс(0) = <р(0), не существует, так как это противоречит
теореме Коши существования и единственности решения [1], если вектор X
удовлетворяет условиям этой теоремы.
Необходимым и достаточным условием существования Т-ие-риодического
решения x(i) = <D(t, [х, Р) является выполнение векторного равенства
Ф(Г,ц,Р)-Ф(0,|1,Р) = 0. (10.1.07)
Условие (10.1.07) представляет собой векторное уравнение с не' известным
л-мерным вектором р, поэтому вопрос о существовании Г-периодического
решения х(1) = Ф(1, ц. Р) равносилен вопросу о
разрешимости функционального уравнения (10.1.07) от-
носительно р.
Введем обозначения
11) ((х, р) = Ф (Т, (х, р) - Ф (0, ц, Р), (10.1.08)
A(|i.P) = -J$p (Ю.1.09)
где символом д^ обозначен якобиан я-го порядка.
Тогда имеет место
Теорема Пуанкаре. Если Д([х, Р) ||з=11=От^0, то по крайней мере при
достаточно малых |[х| уравнение (10.1.01) имеет единственное Т-
периодическое решение, аналитическое относительно ц и обращающееся в
порождающее решение *(°>(f) = ф(?) при [х = 0.
Если доказано существование периодического решения, то целесообразно
находить его либо в виде
*я(0=ч>,(0 + ? Р**1' ...*"• ft)(0pf,p^2 • ¦ ¦ (10.1.10)
*J+... +kn+k>l
6=1, 2, ..., П
790
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 1.02
где компоненты р2, ¦ ¦ ¦ ¦ Рп вектора р получаются в виде рядов
Р.= Z "V
т= 0
(10.1.11)
в результате решения уравнения (10.1.07), либо сразу в виде
*(,)(0|Л (10.1.12)
* (0 = X *"
,=о
где x№(t) суть Г-периодические функции t.
Вектор-функция *№(t) определяется из неоднородного векторного уравнения
dxiq) (t)
dt
(10.1.13)
где A(t) является Г-периодической матрицей, a R^(l)- известная Г-
периоднческая вектор-функция. Более подробно эти вопросы изложены в [2] -
[6].
Если А (0,0) =0, то вопрос о существовании периодических решений
уравнения (10.1.01) и их числе становится чрезвычайно сложным, так как в
этом случае не имеет места теорема о неявных функциях, на основе которой
разрешается функциональное уравнение (10.1.07). Некоторые из этих особых
случаев рассмотрены Пуанкаре [2] и изложены И. Г. Малкиным [3], [4], Г.
