Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Н. Ду-бошиным [5] и К. Зигелем [6].
Метод Пуанкаре позволяет искать и АГ-периодические решения системы
(10.1.01), где k - некоторое целое положительное число. Для существования
таких решений необходимо и достаточно выполнение условия
Ф(кТ, |1,р)-Ф(0, [х, Р) = 0.
(10.1.14)
§ 1.02. Метод Ляпунова
Определение. Векторное автономное дифференциальное уравнение
-^- = Ах + Х(х), (10.1.15)
в котором постоянная вещественная матрица А имеет вид
Л =
0 - я, 0 0 . 0
X 0 0 0 . 0
0 0 ап й\2 ¦ ¦ а1,п- 2
0 0 а21 CL>2 1 ¦ а2, Л - 2
0 0 ап~2, аП~2, 2 ¦ . . Яп-2,П-2
(10.1.16)
§ 1.05] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 791
и п-мерная вектор-функция Х(х) является голоморфной относительно х в
некоторой л-мерной области G"(*e G"), называется системой Ляпунова.
ТеоремаЛяпунова. Если уравнению (10.1.15) возможно удовлетворить рядами
оо
Ж (0 = X (т), (10.1.17)
Jt=l
коэффициенты лсМ(т) которых являются тригонометрическими многочленами
вида
xw (т) = X cos st + МА) sin st),
S- 1
_ 2n(t- t0)
T rp I
7, = ir(1 +Ё (10.1.20)
(с - произвольная постоянная), то ряды (10.1.17) абсолютно сходятся при
всяком t е(- оо, оо), если |с| <; с0, и поэтому они представляют
периодическое решение уравнения (10.1.15). Период Т является
аналитической функцией с в области | с [ <1 с0; с0 - некоторая
положительная достаточно малая постоянная.
Очевидно, что теорема Ляпунова устанавливает существование континуального
множества периодических решений уравнения (10.1.15), так как -с0 < с <
с0. При доказательстве этой теоремы [3], [5], [7], [8] и развивается
метод отыскания периодических решений, названный именем Ляпунова. Этот
общий метод отыскания периодических решений получил развитие в работах
[3], [8] -[11].
Эффективность метода Ляпунова значительно больше в тех задачах, к которым
применима теорема Ляпунова о голоморфном интеграле [5], [7], [8].
Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть К > 0, собственные
значения матрицы А (10.1.16) не равны числам mXi (m - 0, ±1, ±2, ...) и
вектор-функция Х(х) является голоморфной в области Gn относительно х,
разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Пусть,
кроме того, система Ляпунова (10.1.15) имеет голоморфный, не зависящий от
t, интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит
компоненты х\ и х2 п-мерного вектора х.
Тогда система А. М. Ляпунова (10.1.15) всегда имеет периодическое решение
вида (10.1.17) - (10.1.20).
(10.1.18)
(10.1.19)
792 Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА [§ 1.03
§ 1.03. Периодические решения, полученные
методом Пуанкаре
Первые найденные в небесной механике периодические решения- это
эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. II, § 2.01) и лагранжевы
решения в задаче трех тел (см. ч. V, §§ 1.02, 2.03). После того как Хилл
доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)),
допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал
достаточно общий метод - метод малого параметра (см. § 1.01) и на его
основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в
планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело Ро имеет массу
т0, значительно большую масс тI = aip., т2 = планет Р\ и Р2, также
отличных от нуля, а\ > 0, а2 > 0, р,- малый положительный параметр).
Частными случаями этих решений являются периодические решения первого,
второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, §
2.05).
При р, = 0 планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в
две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами т0 и т\ = 0, вторая
задача двух тел с массами т0 и т2 = 0). Очевидно, что среди возможных
движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые
нулевыми массами т^ = т2 = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты
суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при |1^0 в
плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения,
близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут
периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были
периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно
вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В
неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще
говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких
периодических решений оскулирующий кинематический параметр -
эксцентриситет, то он имеет порядок величины р.. Эти плоские
периодические решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями
первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений.
Пуанкаре показывает, что все оо4 множество периодических решений не
богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так
как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных
преобразований. Заметим также, что решение Хилла язляется частным случаем
периодических решений первого сорта Пуанкаре.
