Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
806
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 1.0Р
Если для геометрического изображения воспользоваться тором, то тогда
существует в трехмерном пространстве тор (бублик) с радиусами Rmах и
rmin, а движение точки Р изображается кривой, целиком расположенной
внутри тора. При этом точка совершает бесконечное число оборотов по
долготе и бесконечное число раз переходит из верхней (северной) части
тора в нижнюю (южную). При а - const и е - const точка движется по
поверхности тора с радиусами R0, г0, совершая бесконечное число оборотов
по долготе и широте (рис. 110, 111).
Таким образом, в случае а = const, е = const имеем обмотку поверхности
тора (если ai и осг рационально несоизмеримы) или "заметывание" кольца.
В общем случае (a = a(t), e = e(t)) имеем "заметывание" кольца, или всюду
полное наполнение тора. В исключительных
случаях (например, если ai и осг рационально соизмеримы) траектория
замыкается после некоторого числа оборотов, и мы получаем периодическое
решение. Аналогичные геометрические интерпретации условно-периодических
решений можно дать и в случае большего числа позиционных и угловых
переменных. Например, в пространственной ограниченной задаче трех тел
число позиционных и угловых переменных равно соответственно трем (с(0,
е(0> W) и М(0> со(t), й(0)- Вместо кругового плоского кольца следует
рассматривать полый цилиндр, основанием которого служит круговое кольцо,
а высота равна 2imax, где [i(0l<imax- Вместо двумерной поверхности тора
следует рассматривать трехмерную поверхность тора, полученную прямым
произведением трех окружностей с радиусами атгх, етах,
Первые условно-периодические решения в задаче трех тел нашел Пуанкаре
[2]. Его метод малого параметра (см. § 1.01) позволяет находить в
определенных системах координат условно-периодические решения задачи трех
тел. Периодические решения первого, второго, третьего сорта суть, вообще
говоря,
Рнс. 110. Изображение пространственного условно-перподического движения.
Рнс. 111. Изображение услозно-перио-днческого движения на торе.
lmax-
§ 1.08] гл. 1. Периодические и усл6вно-периодиЧескиё решения 80?
условно-периодические решения, так как координаты точек в неподвижной
прямоугольной системе координат даются функциями типа (10.1.59).
Периодические решения Шварцшильда (см. § 1.03) также являются условно-
периодическими решениями в неподвижной системе координат.
Условно-периодические решения Af-планетной задачи, найденные Арнольдом в
§ 1.07, являются условно-периодическими решениями второго сорта,
пользуясь терминологией Пуанкаре.
В. Джефрисом и Ю. Мозером [42] и Г. А. Красинским [43] доказано
существование условно-периодических решений первого сорта (почти-круговых
движений) в задаче трех тел и в плоской М-планетной задаче. Построены
условно-периодические
решения в окрестности точек либрации [36], [140]. Условно-периодические
решения в осредненных вариантах плоской ограниченной задачи трех тел
найдены в [29], [140]. Все перечисленные классы условно-периодических
решений имеют "периплегмати-ческий" характер, или суть движения в торах
или на торе.
Дж. Винти [45], М. Д. Кисликом [46], Е. П. Аксеновым,
В. Г. Деминым и Е. А. Гребениковым [47] доказано существование
условно-периодических решений в задаче о движении искусственного спутника
сфероидальной планеты. Ими доказано, что при отрицательных энергиях
спутника существуют условнопериодические решения, всюду плотно
обматывающие часть эллипсоидальной поверхности, заключенной между двумя
параллелями (рис. 112), или всюду плотно заполняющие тело вращения,
образованное вращением фигуры (рис. 113) вокруг оси Ог.
В конце заметим, что доказательство существования условно-периодических
решений в планетных задачах, основанное на
Рис. 112. Ь словно-периодическое цвнжеиие спутника на эллипсоидальной
поверхности.
Рис. 113. Часть трехмерного пространства, в которой происходит условно-
периодическое движение спутника.
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
1§ ЬМ
применении методов ускоренной сходимости ньютоновского типа [48],
содержит в себе и способ построения некоторых классов условно-
периодических решений гамильтоновых систем. Конструктивная часть метода
достаточно подробно описана Ю. А. Рябовым [140].
§ 1.09. Финальные движения в задаче трех тел.
Захват и обмен в задаче трех тел
Финальными движениями в задаче п тел называются предельные движения, к
которым стремятся движения каждого из тел при /->-±оо.
Классификация финальных движений в задаче трех тел была дана Ж- Шази
[49]. Согласно Шази существует семь типов финальных движений в задаче
трех тел (рис. 114).
А) Движения гиперболические:
lim г01 = + оо, t ->+00
lim г02 = + оо,
t -> + оо
lim ri2 = + °°,
t -> +oo
причем r{j = 0(t) для достаточно больших значений t. Отсюда вытекает, что
lim | V01 > О,
<-> +оо
lim | Vj 1 > О, t -> +00
lim | V21 > 0.
t -> +oo
B) Движения гиперболо-параболические:
lim r0i ~ ~Ь °°, lim r02 -+ °°> l*m ri2 - + °°,
