Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
теоремы Брунса содержится в [5], [58].
§ 2.03. Теорема Пуанкаре о несуществовании однозначных аналитических
первых интегралов гамильтоновой системы
Пусть имеется гамильтонова система 2п-го порядка
AlL - дН = _ д- (10 2 07)
dt dg dt дх '
где функция Гамильтона Н(х,у,\х) обладает свойствами:
1) непрерывна и однозначна относительно 2п -f- 1 аргумента х, у, ц (ц
- скалярный параметр) в (2п + 1)-мерной области
Г х^Х,
D = < у е= (- оо, оо)",
I - Цо < ц < ц0;
2) аналитична относительно ц при |ц| ^ Цо:
3) периодична относительно у.
Н (х, у+ 2л, ц) = Н [х, у, (i.).
В силу условий 1)-3) Н(х,у,ц) можно представить рядом
оо
Я (ас, у, ц) = Но(*) + ? |*'Я, (х, у), (10.2.08)
(=i
сходящимся при |(х|^(хо для любых *еХ, У^(-оо, оо)п. Теорема Пуанкаре.
Если Нс = Н0(х) и гессиан д2Н
-д-ф 0, то уравнения (10.2.07), кроме первого инте-axiaxi хе;х
§ 2.04]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
815
грала Н (*, у, ц) = С, не имеют в области Di cz D, вообще говоря, другого
однозначного аналитического интеграла (см. [2]).
Исключительные случаи, когда могут существовать другие однозначные
аналитические интегралы системы (10.2.07), также исследованы Пуанкаре
[2].
Из теоремы Пуанкаре следует, что в планетном варианте задачи трех тел (mi
< m0, m2 < m0) не существует других однозначных интегралов, кроме
интеграла энергии и интегралов площадей. Результаты Пуанкаре были
распространены Пенлеве на задачу п тел. Подробно эти вопросы изложены в
учебнике Г. Н. Дубошина [5].
§ 2.04. Случаи интегрируемости уравнения Гамильтона - Якоби методом
разделения переменных
Теорема Гамильтона - Якоби (см. ч. IV, § 1.20) устанавливает
эквивалентность проблемы интегрируемости канонической системы (4.1.52) и
уравнения Гамильтона - Якоби (4.1.67) или (4.1.68). Это обусловило
интенсивные исследования по проблеме отыскания полного интеграла
уравнения Гамильтона - Якоби, прежде всего методом разделения переменных
[104].
Изложим кратко историю вопроса1.
В 1843 г. Якоби [105] нашел методом разделения переменных полный интеграл
уравнения вида
?($¦/-*¦ "0-2.09)
i=i 1
Р. Лиувилль [106], [107] показал, что интегрируемо более общее, чем
(10.2.09), уравнение Гамильтона - Якоби, а именно:
? [srWt^T - ш' Ч=2нЪ> <">> • <10-2- ш>
В 1880 г. Г. Морера [108] нашел методом разделения переменных все случаи
интегрируемости уравнения . ч(dWу - 0 . ч dW dW .
"и +2а^^> +
+ a22(qu ?2)(|^)2-?/(?., ?2) = А. (10.2.11)
В 1891, 1893 гг. П. Штеккель [109] исследовал проблему интегрируемости
уравнения k
?аг(<7ь q3.....qh) V - 2U (?,, q2........qk) = 2h. (10.2.12)
f=sl 1 '
816
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 2.04
Доказано, что если уравнение (10.2.12) допускает разделение переменных,
то необходимо существует система й2 функций Ф(*>! = 1. 2, . • •, k) и
система k функций Ч',-^) (i = = 1,2, ..., k), обладающих тем свойством,
что коэффициенты 0i(qi,ci2, qh) и силовая функция U(quq2, ¦¦¦, Q'*)
представляются соотношениями
" i=i Д - det {ф(/}.
Эти условия являются и достаточными [110].
После работы Штеккеля осталось найти случаи интегрируемости уравнения
Гамильтона - Якоби, содержащего, помимо квадратов импульсов, также
произведения импульсов с различными индексами, импульсами в первой
степени и явно время в характеристической функции, т. е. представляло
интерес уравнение Гамильтона - Якоби вида
k
к
+ ?М<7,.......qk)-~-U(qi.........qk) = h. (10.2.13)
;=i 1
Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби
целиком определяется аналитической структурой коэффициентов а,-;-(<7ь
<72..qh), bi(quq2, ..., qh) и си-
ловой функции U. Это побудило Т. Леви-Чивига [111] вывести необходимые и
достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнення
(10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных.
Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной
ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-
Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные
зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения
Гамильтона - Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два
обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом
разделения переменных.
Вопросы интегрируемости уравнений в частных производных первого порядка
исследовал В. Г. Имшенецкий [121], идеи которого были использованы М. С.
Яров-Яровым [122] для интегрирования неавтономного уравнения Гамильтона -
Якоби.
§ 2.06]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
817
§ 2.05. Теорема о неприводимости уравнения Гамильтона - Якоби для плоской
ограниченной круговой задачи трех тел к уравнению типа Штеккеля
Уравнение Гамильтона - Якоби для плоской ограниченной круговой задачи
трех тел в эллиптических переменных и, v (5.2.56) не имеет форму
уравнения Штеккеля (10.2.12), поэтому правомерен вопрос о существовании
такой замены переменных, которая делала бы возможным такое
преобразование.
Для случая двух степеней свободы назовем уравнением, типа Штеккеля
