Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
f->+oo <->+" + 00
причем
roi (t) = 0 (t), r02 (t) = 0(t), rI2 (t) = 0 0Vi)
для достаточно больших значений t. Отсюда вытекает, что lim I Vi21 - О,
Vц - скорость тела Р/ относительно Pt.
t -> + оо
C) Движения гиперболо-эллиптические:
lim r0i = +°o, Нт Г02 - + 00. lim г12<Си
+ ОО f -> -f ОО /->+00
Рис. 114. Gxyz - прямоугольная барицентрическая система координат; V\, ^-
-барицентрические скорости точек P0l Pit Рг соответственно.
$ 1.09] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 809
С] - некоторая постоянная, причем
г01 (0 = 0(0, г02 (0 = 0(0
при достаточно больших значениях t.
D) Движения параболо-параболические:
lim rtj = + оо,
?-> +оо
причем все
Г а (0 = о 0!/з)
для достаточно больших t. На бесконечности все относительные скорости
обращаются в нуль.
E) Движения параболо-эллиптические:
lim /-0] = -|-оо, lim /02 = + °°, lim г,2 <1 С,
f-"+ во / -> -f*°° f-"+oo
причем
г01(0 = О(^), г02 = О(/,/0
для достаточно больших t. Отсюда вытекает, что lim | V011= lim | V02| =
0.
t -" +00 f -> +00
F) Движения ограниченные: все lim ги<С.
t -f-oo
G) Движения осциллирующие: lim r0l<C, a (t) и г12(0
t -> +00
с одной стороны неограничены, но и не стремятся к бесконечности при t ->
-(- 00. Существование таких движений у Шази не было доказано. Этот вопрос
положительно решен К. А. Ситниковым [50].
Очевидно, что в приведенной классификации индексы 0, 1 и 2 не имеют
существенного значения.
Пусть А- постоянная интеграла энергии, написанного в барицентрических
координатах.
Если А < 0, то при / -> -|-оо финальные движения могут принадлежать
только типам С), Е), F), G).
Если А = 0, то при /->-|-оо финальные движения принадлежат либо С), либо
D).
Если А > 0, то при t -> -|- оо финальные движения могут принадлежать А),
В), С).
Аналогичная классификация имеет место и при -оо. Переход от одного типа
финальных движений (при t -00) к другому (при ?->+оо) связан с так
называемой проблемой захвата, рассматривавшейся многими авторами [49],
[51] - [53].
Согласно Шази назовем захватом в задаче трех тел следующий переход:
А -у С .
f-оо f-"-f-oo
810
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS 1.09
Наиболее полно проблема захвата рассмотрена В. М.. Алексеевым [54], [55].
Согласно Алексееву частичным захватом в задаче трех тел называются
переходы
С -*• Е , / -" -оо / -> + оо С -> G , / -> -оо / -> +оо
Е -+ С , t -> -оо t -> + оо G -> С , / -> -оо t -> +оо
Е -> G , t -> -ОО / +00 G -> Е . / -" -оо / -> +оо
Полным захватом называются переходы
С -> F , Е - <-"-оо <-"+оо /->-00 -> F , G -*¦ F /->+?0 /->-оо /->+оо
Наконец, обменом в задаче трех тел называются переходы
С -*¦ С , / -> - оо [ -> +оо Е -* Е , / -> -оо / -> +оо
F -> F , t -> - оо t -> +00 G -> G . /->-00 /->+00
Последние переходы содержат как тривиальные случаи (когда остается без
изменений не только тип финальных движений, но и характер движений в
системе трех тел), так и наиболее интересные случаи, когда роль компонент
в материальной системе существенно меняется. Например,
1)
С -> С
lim гш = + оо, lim г01 = + оо,
/->-ОО /->-1-00
lim го2= + °о, lim г12 = + оо,
/->-- оо /-> +оо
lim r12 < С, lim r02 < С.
/-> -oo /-> + oo
2) F->F: тело P2 было спутником PD при t->-oo, а при становится
спутником Pi.
В. М. Алексеевым доказано, что все указанные типы переходов возможны в
задаче трех тел. Иногда удается определить вероятность захвата [52],
[55].
Финальные движения в задаче п > 3 тел не изучены.
Глава 2
ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
Всякая задача небесной механики сводится к дифференциальным уравнениям,
и, следовательно, ее решение равносильно решению дифференциальных
уравнений, описывающих ее. Однако термину "решение" дифференциальных
уравнений на разных этапах приписывалось различное содержание и в силу
сказанного проблема интегрируемости в небесной механике трактовалась в
различные эпохи по-разному.
С эпохи Лагранжа и Лапласа задача считается интегрируемой, если она
решается "в квадратурах", т. е. можно найти общий интеграл
дифференциальных уравнений задачи, содержащий независимые произвольные
постоянные, число которых в точности равно порядку системы. С этой точки
зрения наиболее интересными интегрируемыми задачами являются задача двух
тел (ч. II) и задача двух неподвижных центров (см. ч. V, гл. 3). В задаче
п'>2 тел известны 10 первых интегралов (см. ч. IV),
и, как показал Лагранж, порядок системы может быть понижен еще на две
единицы. Следовательно, для нахождения ее общего интеграла следует знать
еще 6п- 12 первых интегралов, однако фундаментальные исследования Брунса,
Пуанкаре и Пенлеве (см. §§ 2.03 и 2.04) доказали бесплодность дальнейших
поисков.
Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений позволило дать
еще одну трактовку проблеме интегрируемости в небесной механике. Если
можно найти решение дифференциальных уравнений задачи небесной механики в
виде рядов, сходящихся для любых априорно заданных параметров системы
