Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Периодические решения второго сорта - это периодические решения плоского
планетного варианта задачи трех тел, вьфо-
§ 1.03] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 793
ждающиеся при ц = 0 в кеплеровские эллипсы с отличными от нуля
эксцентриситетами (почти-эллиптические орбиты). Наконец, периодические
решения третьего сорта - это пространственные периодические решения.
Доказательство существования периодических решений второго и третьего
сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] к исследованию на экстремум
некоторой функции Fu смысл которой следующий: пусть уравнения движения в
задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, § 1.13) с
аналитической по ц при |ц|^ Но функцией Гамильтона F вида
оо
F(p, q, н) = /го(р) + Zypkip, q), . (io i 21)
F{p,q + (2я), ji) = F [p, q, ц).
Удобнее всего в этой задаче пользоваться каноническими элементами Делоне
(см. ч. IV, § 4.06). Тогда роль переменных р играют Lh, Gh, Hh,
переменных q играют lh, qk, hh (k - 1, 2).
Пусть при ц = 0 большие полуоси а(,0), а^0) кеплеровских орбит планет Р\
и Р2 выбраны таким образом, что п^Т и nf^T (где nf\ п?0) - средние
движения планет Pi и Рг) кратны 2л. Тогда вырожденная задача трех тел (т.
е. две задачи двух тел) допускает периодическое решение с периодом 2л по
долготе. Действительно, средние долготы планет/?4 и № за время Т
изменятся ровно на 2л независимо от начальных значений долгот
.(О) ,(0) " "
мо, 'го и от начальных значении канонических элементов Делоне Я'^, Я(r),
gfL g(r), h\°о\ А$ (см. ч. IV, § 4.06).
Обозначим теперь через F\ среднее значение по времени t функции F1{p,q),
вычисленное после замены переменных р и q решениями двух задач двух тел.
Другими словами, долготы lf\ № заменяются линейными функциями t
/<0) _ (0), I ,(0) \
h - п 1 t 1ю, I
й"=Л+(r).1 ( 1
а все остальные переменные - постоянными значениями. Тогда т
fi-taJ-UUP, Of, HP, й°>, gi", AS") Л.
г->=°' j
Для существования периодических решений второго и третьего сорта
достаточно [2], чтобы Л в пространстве параметров
гг(0) гг(П) ,(0) ,(0) (0) (0)
п\ , Я2 , мо, '20, giq_, gw имела экстремум. Пуанкаре доказывает, что
функция Fi всегда имеет экстремумы в пространстве
794
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Г{ !.оз
указанных параметров и, следовательно, всегда существуют в планетной
задаче трех тел периодические решения второго и третьего сорта. Пуанкаре
доказано также, что множество периодических решений третьего сорта богаче
множества периодических решений второго сорта, так как, если положить в
классе периодических решений третьего сорта наклон, равным нулю, мы
получим все множество периодических решений второго сорта и некоторое
подмножество периодических решений, не принадлежащих классу решений
второго сорта.
Как и в случае решений первого сорта, периодическими функциями времени
являются взаимные расстояния, а не координаты тел. Координаты тел будут
периодическими функциями t в равномерно вращающейся системе координат,
угловая скорость которой относительно неподвижной системы достаточно
мала.
йГ-периодические решения системы (10.1.01) Пуанкаре называет решениями
второго рода. В "Новых методах" [2] он дает исчерпывающий анализ проблемы
существования и конкретного построения периодических решений второго
рода.
Для периодических решений первого, второго н третьего сорта, так же как и
для периодических решений второго рода, характерным является то, что они
при (х = 0 (когда массы двух планет mj = ccj^, т2 = ссг^ обращаются в
нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т.
е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В
связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических
решениях в проблеме трех тел: им доказано существование таких
периодических решений, которые характеризуются существенным (но
спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно
близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре
решениями второго вида.
Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел.
Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в
ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае
несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения
вырождаются при |i = 0 во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела
(периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать
о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических
решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается
существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица
линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А.
Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества
периодических решений в огра-
§ ,1.04] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 795
ниченной круговой задаче трех тел и в задаче Хилла, Ю. В. Батракова [15],
