Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
функция.
Определение 2. Спектральной функцией для почти-пе-риодической функции
f(x) называется функция
a(k) = M{f{x)e~a*}. (10.1.35)
Свойство 8. Для любой почти-периодической функции f(x) ее спектральная
функция а (Я) не равна нулю лишь для конечной или счетной
последовательности Яь Яг......Яп, ...
Определение 3. Числа Яь Яг, ..., Я"............для которых
а(Яп)=7^0, называются показателями Фурье почти-периодической функции
f(x), а числа а(кп) называются ее коэффициентами Фурье. Множество всех
показателей Фурье называется спектром почти-периодической функции.
Определение 4. Рядом Фурье почти-периодической функции f(x) называется
тригонометрический ряд
(10.1.36)
п
где
ап = а (Я") = M{f (х) e-'V}. (10.1.37)
Множество {Я"} - спектр функции f(x).
Определение 5. Если среди показателей Фурье Xi, кг, ... почти-
периодической функции f(x) существуют такие k показа:-телей Яп,, кп2,
knk, что все остальные представляются в виде суммы
K='t^iKi, (10.1.38)
i=i
где Ni, N2......Nh - целые числа, то такая почти-периодиче-
ская функция называется условно-периодической.
Совокупность Я" , Я"2, Я"й называется частотным базисом условно-
периодической функции.
Очевидно, что условно-периодическую функцию можно представить рядом Фурье
вида
f(*)~ ? (10.1.39)
I JVI^O
где Х(ЯП1, Я"2....k"k) есть ^-мерный частотный базис, N есть
^-мерный целочисленный вектор, норма которого
\N\~Z\Nd (10.1.40)
<=-1
Этот частный случай почти-периодических функций наиболее распространен в
небесной механике.
§ 1.07] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 801
§ 1.07. Теорема Арнольда о существовании
условно-периодических решений гамильтоновых систем
Пусть движение объекта описывается гамильтоновой системой 2я-го порядка
dp _ дН dq _дН мп 1 АП
7Г-~-Ц' ЧГ~-д^ (Ю.1.41)
с аналитическим по всем переменным р и q и периодическим по q
гамильтонианом H(p,q, ц), где ц - малый параметр. Фазовое 2п-мерное
пространство переменных р, q является прямым произведением л-мерного тора
на область fl-мерного евклидова пространства.
Если гамильтониан зависит только от переменных р(Н = Н(р)), то уравнения
(10.1.41) принимают вид
•§=0' <101-42) Уравнения (10.1.42) легко интегрируются, и мы имеем
Р = Ро> ? = (r)* + <7о- (10.1.43)
Каждый тор р = р0 инвариантен, и если частоты соь шг, ... ..., Шп
несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе р = Ро с
частотами соь Ш2, ¦ ¦., con-
Основной вопрос, который возникает при рассмотрении гамильтоновых систем
(10.1.41), можно сформулировать следующим образом: существуют ли у
системы инвариантные торы, близкие к тору р = Ро, и имеет ли движение на
этих торах условно-периодический характер? Этот вопрос в последние
десятилетия рассматривался К- Зигелем [6], А. Н. Колмогоровым [35], В. И.
Арнольдом [36], Ю. Мозером [37], [38]. Позднее существенные обобщения
были сделаны в работах [39], [40].
Ниже мы приводим теорему Арнольда [36] о существовании условно-
периодических движений для системы (10.1.41).
В задачах небесной механики не все компоненты п-мерных векторов р и q
входят в гамильтониан Н{р, q) одинаковым образом, поэтому ради удобства
будем рассматривать векторы р0, ?о размерности п0 и векторы ри q\
размерности пи причем очевидно, ЧТО П0 + П\ = п.
Теорема Арнольда. Пусть гамильтониан Н (р, ?) = = Н (ро, pi, qo, q{)
зависит от параметра ц (0 < ц ^ fi0), 2п-перио-дичен по переменным q0 (Н
(р0, ph q0 + 2л, q^ = Н (р0, p., qдО), аналитичен в 2п-мерной области
{Ро ?= С0,
|Irn<7oKp, (10.1.44)
UiKtf, JC|=(Pi, 4i)
26 Под ред. Г. Н. Дубошнна
802
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 1.0"
и представим в виде
Н(р, q) = HQ (ро) + цЯ! (р, q) + H2(p, q, ц), (10.1.45)
где Н2 имеет порядок ji2, а
Нх(р, q) = Hl(po, р" Яд + Н^ро, Ри qQ, qd, (10.1.46)
2л 2Я 2я
J J ... J Я1 dq0 = 0, (10.1.47)
0 0 о
я, (Ро, Pi, qi) = Hl(p0, т) + Н1(ро, Pi, ?,), (10.1.48)
^ Ш п\ "|
Я] (ро, т) = Л0 + X ^iTi + ^i/TiT/ + 2 I, krlrlrk> (10.1.49)
i=l I, 1=1 l. и к
где Л0, hi, Ъц = кц и Хц11 зависят только от р0, а
2 \=Pi+i + <+i 0' = 1....."|). (10.1.50)
Пусть, кроме того, в области F выполняются неравенства
IЯ, |<С, I 1^! |<с, ,1П1К1\
~ ^ (10.1.01)
I^kcix.p, |Я2К(Х2С, J
а в области G0
<52Я"
det
=^0, det | кц (ро) | ф 0. (10.1.52)
Тогда для любого е > 0 существует такое б0 (е; Н0, Ни G0; р, R, С; цо) >
0, что если 0 < б < бо и 0 < ц < б4, то имеют место утверждения:
1. Область
{Ро <= Re G0,
|lm?0l = 0, (10.1.53)
0 < т, < б
состоит из двух множеств F6 и f6, из которых Рй инвариантно относительно
канонических уравнений с гамильтонианом (10.1.45), а другое, ft, мало в
смысле меры
mes f&<R mes Fe.
2. Множество fe состоит из инвариантных n-мерных аналитических торов
7'ш, задаваемых параметрическими уравнениями
Po = Pom + /om(Q), Ча = Qj + ёоа (Q).
Pi = Л/2 (т" + /1(1) (Q)) cos [Q, + gln (Q)], (10.1.54)
Pi = V2 (tu + /iu(Q)) sin [Q, + gla (Q)],
9 1.0В] ГЛ< 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИЭДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 803
где Q = Qo Qi - угловые параметры, рош" тш - постоянные, зависящие от
