Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемой динамической системе определяется двумя позиционными
координатами (х, у) и любая траектория точки является плоской. Критерий
Уиттекера состоит в том [27], [58], что рассматривается некоторое плоское
кольцо на плоскости (х, у) и значение, построенной специальным образом,
функции на внутренней и внешней границах кольца. Эта функция (назовем ее
функцией Уиттекера) имеет следующую аналитическую структуру:
(tm). h + U (х, у) . 1 ( dU , . dU\ /,п t пе\
= ~ Р(^7) +Т1с0^а7 + 51П^)- (Ю.1.25)
где U(x,y)-силовая функция, А - полная энергия системы, Р(х,у) -радиус
кривизны контура С, проходящего через заданные две точки траектории, у -
угол наклона нормали, проведенной в точке (х, у) контура С к оси Ох.
Критерий Уиттекера. Если во всех точках внутренней границы кольца W < 0,
а во всех точках внешней границы W > 0, то в данном кольце имеется
периодическая траектория динамической системы, соответствующая данному
значению h полной энергии.
А. Синьорини [101] и Л. Тонелли [102] обобщили критерий Уиттекера на
случай обратимых (автономных) динамических систем, а Дж. Биркгоф [100]
распространил критерий Уиттекера на неавтономные динамические системы с
двумя степенями свободы.
Основываясь на этом критерии, Н. Д. Моисеев [28], [29] установил
существование четырех семейств периодических решений в плоской
ограниченной круговой задаче трех тел Солнце - Юпитер - астероид. С
помощью критерия Уиттекера Н.Д. Моисеев нашел кольцевые области, в
которых располагаются периодические решения. Н. Ф. Рейн разработала [103]
метод нахождения периода периодического решения в ограниченной задаче
трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения
ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым [31].
798 Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА (§ 1.06
Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о
неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение
другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж.
Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы
Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для
отображаемых областей и для постоянных.
Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись
Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером'[30] для доказательства
существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре)
почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел.
Оригинальные результаты принадлежат А. Д. Брюно [143]. Исследование
окрестности тора качественными аналитическими и численными методами
позволило удачно систематизировать ранее известные и новые полученные им
классы периодических и условно-периодических решений ограниченной
круговой задачи трех тел.
§ 1.06. Почти-периодические функции и их свойства.
Условно-периодические функции
Определение 1. Функция /(*), непрерывная на всей вещественной оси,
называется почти-периодической в смысле Бора, если для любого е > 0
существует положительное число I = 1(e) такое, что любой отрезок [а, а +
1\ (а - любое вещественное число) содержит по меньшей мере одно число т,
для которого
| / (х + т) - / (х) | < е (-оо<х<оо). (10.1.26)
Число т(е) называется ъ-почти-периодом функции f(x).
Класс почти-периодических функций достаточно хорошо изучен в
исследованиях П. Боля и Г. Бора и эти результаты изложены в [32]-[34]. Мы
приведем лишь те свойства почти-периодических функций, которые чаще всего
нужны в небесной механике.
Свойство 1. Пусть а есть n-мерный постоянный вектор,
f(x)(fi(x),f2(x)....fn(x)) есть я-мерная почти-периодическая
вектор-функция (его компоненты - почти-периодические функции). Тогда
скалярная функция
F (*) = (",/<*)) (10.1.27)
является почти-периодической.
§ 1.06] гл. i. Периодические и условно-периодические решения 799 В
частности, тригонометрический полином вида
П
Р{х)=Цакеаьх (10.1.28)
k= 1
с вещественными является почти-периодической функцией.
Свойство 2. Пусть fi(x), f2(x).....fn(x)-почти-периодиче-
ские функции. Тогда
F(x) = f[fk(x) (10.1.29)
1
- также почти-периодическая функция.
Свойство 3. Пусть fi(x), f2(x)-почти-периодические функции, причем
inf I /а W I > 0.
х е (- оо, оо)
Тогда
= (10.1.30)
- также почти-периодическая функция.
Свойство 4. Если производная f'(x) почти-периодической
функции f(x) равномерно непрерывна на всей вещественной оси ле(-оо, оо),
то она почти-периодическая функция.
Свойство 5. Пусть f(x) - почти-периодическая функция,
X
F(x)=\f(t)dt (10.1.31)
sup \F(x)\<oo. (10.1.32)
*е(-00, оо)
Тогда F(x) является почти-периодической функцией.
Свойство 6. Всякая почти-периодическая функция имеет конечное
интегральное среднее
г
f = М {/} = Iim 4- \ / {х) dx. (10.1.33)
т-*°° S
Свойство 7. Интеграл от всякой почти-периодической функции представим в
виде
X
^f{t)dt = j-x + <р(х), (10.1.34)
8Й0
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
|§ 1.06
где f - среднее значение функции f(x),~ ср(х)-почти-периоди-ческая
