Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
номера тора со.
3. Инвариантные торы Тш мало отличаются от торов
Ро = Рош = const, т = тш = const. (10.1.55)
Это отличие дается оценками
I fa (Q) I < ей, | fa (Q) | < ей, | gou (Q) | < е5, 1(Q) | < еЗ.
(10.1.56)
4. Движение на торе Тш условно-периодично с "-частотами со:
_ м > (ш'67>
Ш° 5р00 ' 01 ** ЙТщ ¦
Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет
существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно
малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в
кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг
с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон)
выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно,
если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч.
IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении
гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот qq играют средние
движения планет.
§ 1.08. Условно-периодические решения в небесной механике. Геометрическая
интерпретация
По традиции в задачах небесной механики условно-периоди-ческим называется
[140] такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось,
эксцентриситет, наклон и аналогичные им канонические переменные)
выражаются в виде услов-но-периодических функций времени, т. е. имеют вид
(10.1.39)
(a(t), e(t), L{t), ...)~ Z ANei{N'*]t, (10.1.58)
|JV|3*0
а угловые переменные (средняя и истинная долготы, средняя аномалия,
долгота перицентра, долгота узла и др.) выражаются в виде сумм линейных
функций и условно-периодических функций времени, т. е.
(v w. I (0, М (0, со (0, О (fl) ~ Of + Е ANe w' ш)'. (10.1.59)
I ЛГ|>0
26*
804
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 1.08
Не существуют в задачах небесной механики такие решения, в которых все
переменные (позиционные и угловые) представлялись бы условно-
периодическими функциями вида (10.1.58).
Можно дать два геометрических изображения условно-периодических решений.
Рассмотрим, ради простоты, совокупность
двух пар функций: одна пара- оскулирующие большая полуось a(t) и
эксцентриситет e(t), вторая пара- средняя аномалия M(t) и угловое
расстояние перицентра со(0-
Предположим, что a(t) и c'(t) имеют вид (10.1.58), а ~х M(t) и ш(0 - вид
(10.1.59). Заметим, что с помощью таких переменных можно описать движение
пассивно гравитирующей (нулевой) массы Р в плоской ограниченной задаче
трех тел, или движение каждой массы в
Рис. 106. Изображение эллиптической орбиты nrrnrifnir N-u л а цртипй
гзятта планеты Р в ее плоскости. ПЛОСКОЙ IV ПЛЭНеТНОИ Зада
че.
В невозмущенной задаче а = а0, е = е0, м = со0, М = = агt + Mq, т. е. две
позиционные переменные (а, е) и одна угловая переменная (со) суть
постоянные, а вторая угловая переменная (М) -линейная функция времени. Не
ограничивая общность,
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ (Оо = Мо - 0.
Одно геометрическое изображение для случая в0 < 1 дано на рис. 106.
Эллиптическая орбита точки Р неподвижна в неподвижной системе координат
Sxy и касается двух окружностей: окружности, радиус которой равен
расстоянию перицентра Го = ?Zo(1 -So), и окруж- Рис. 107. Изображение
эллипткче-
*" скоА ообиты на тоие*
ности, радиус которой равен рас-стоянию апоцентра /?0 = czq(1 + е0).
Для получения второго геометрического изображения воспользуемся тором,
образованным прямым произведением двух окружностей [141] с радиусами а0 и
е0 (рис. 107). Введем на торе две угловые координаты: долготу М и широту
со.
Так как со = со0 = 0, М - а\t, то движение точки Р на торе изображается
равномерным движением по экватору тора.
g 1.08] ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 805
Допустим теперь, что a(t), e(t) суть функции вида (10.1.58), a M(t),
a>(t)--вида (10.1.59). Так как условно-периодические функции ограничены
для всех /е(-оо, оо), имеем
то очевидно, что Rmax ^ Ro, ^min "?[ г0.
Для всех /е(-оо, оо) существует плоское круговое кольцо Гтш ^ г ^ /?тах,
внутри которого происходит движение точки Р (рис. 108). Траектория иногда
может касаться как внутренней,
так и внешней границы кольца, но вероятность такого события равна нулю.
Если существует условно-периодическое решение, в котором а = const, е -
const, M(t), a>(t) имеют вид (10.1.59), то такое решение изображено на
рис. 109. Такие решения часто называются периплегматическими. За
бесконечное время угловые переменные M(t) и ш(/) увеличиваются
бесконечное число раз на 2л, т. е. движущаяся точка Р бесконечное число
раз обходит начало координат, а воображаемая прямая, соединяющая смежные
по / максимум и минимум кривой, также совершает бесконечное число
поворотов вокруг начала.
^niln <2 (/) ^ ^max*
?mln ^ & (0 ^ ^шах"
Mmin < M{t) - < М
та
tOmln < a (t) - а4 <
^тах
ч
(10.1.60)
причем Дт1п ^ ^ Ятах" ^mln ^ ^ ^тах-
Если ввести теперь величины
(10.1.61)
Рис. I0S Изображение условно-периодического движения в плоскости орбиты.
Рис. 109. Периплегматическая орбита в задаче трех тел.
