Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
[§ 2.07
Другими словами, для моментов времени, близких к моменту соударения,
какова бы ни была далекая масса, решающей является сила притяжения
близких тел.
3) Если |с|>0, то для всех / е(-оо, оо) два из наибольших взаимных
расстояний ограничены снизу одной и той же постоянной, а скорость
удаленной массы ограничена сверху. Это утверждение говорит о том, что с
возрастанием (или с убыванием) t периметр треугольника, образованного
телами, не может стремиться к нулю ни монотонным, ни осциллирующим
образом.
Эти соображения позволили Зундману преодолеть математические трудности,
возникающие из-за возможных двойных соударений в уравнениях движения
задачи трех тел. Зундман не нашел необходимые и достаточные условия
отсутствия всяких соударений в задаче трех тел, но, изучив характер
соударений с помощью метода регуляризации независимой переменной,
устранил эти особенности в дифференциальных уравнениях задачи трех тел.
§ 2.07. Решение задачи трех тел в виде рядов,
сходящихся для всех вещественных значений времени.
Теорема Зундмана
Теорема Зундмана. Если момент количества движения в задаче трех тел
отличен от нуля (|с|>0), то прямоугольные барицентрические координаты
трех тел, их взаимные расстояния и время t могут быть разложены в
степенные ряды по степеням переменной ш. Эти ряды сходятся при | со | < 1
(см. [5], [6], [61]).
Связь между временем t и новой независимой переменной со выражается
равенствами
е 2Й - 1 (r) ns '
t
s=\{U+\)dt,
fo
2Q # 1 (c)
s =-------------In -j--------------,
п 1 - ca
(10.2.26)
dt = (U + 1 )~'ds,
(10.2.27)
где U - силовая функция задачи, to- начальный момент времени. Постоянная
Я однозначно определяется массами трех тел, их начальными координатами и
скоростями. В [5] для нее дается явное выражение.
Так как интервал -1 < ш < 1 отображается взаимно однозначно с помощью
(10.2.26) в бесконечный интервал -оо < s < < -foo, а -оо < s < -foo с
помощью (10.2.27) отображается взаимно однозначно в бесконечный интервал
-оо < / <; + оо,
g 2.081
гл. 2. Проблема интегрируемости
821
то отсюда вытекает, что ряды, построенные Зундманом для задачи трех тел,
сходятся для всех вещественных значений времени t.
Исследования Д. Белорицкого [62] показали, что скорость сходимости рядов
Зундмана чрезвычайно мала, поэтому их использование в приложениях в
настоящее время невозможно. Интересные исследования, примыкающие к
работам Зундмана, выполнил Г. А. Мерман [63].
Аналогичные результаты для задачи п > 3 тел неизвестны.
§ 2.08. Сходимость рядов Хилла
в основной проблеме теории движения Луны
В гл. 3 ч. V и в гл. 10 ч. IV приведены уравнения Хилла, определяющие
промежуточную орбиту Луны. Для теории Луны Хилл рассматривал уравнения
[см. (5.3.18)]
где mT,tnL - массы Земли и Луны, п, п' - средние сидерические движения
Луны и Солнца. Хилл показал (см. ч. IV, гл. 10), что уравнения (10.2.28)
имеют периодическое решение
где коэффициенты Л2й+t и B2ft+1 разлагаются в ряды по степеням малого
параметра ш.
А. М. Ляпунов показал [64], что уравнения (10.2.28) имеют периодические
решения вида
где Рь(Ю и Qft(i) -тригонометрические полиномы относительно coss| и sins|
(s - целое число). Ряды Ляпунова (10.2.32) представляют собой
"перестроенные" ряды Хилла (10.2.31).
(10.2.28)
в которых
Ъ = (п - п') (t - to),
(10.2.29)
(10.2.30)
п - п
ао
Х= X A2k+lcos (26+ 1)1,
оо
(10.2.31)
У= ? B2k+l sin (26 + 1) I,
k=0
ао
ОО
*=? ш kPk №), т kQk ft), (10.2.32)
822
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 2.09
В работе [64] Ляпунов не только построил формальные ряды
(10.2.32), но и доказал их сходимость: им доказано, что ряды
(10.2.32) абсолютно и равномерно сходятся для всякого значения t при
|т|^ 1/7. Для теории движения Луны m " 0,08085, поэтому ряды Хилла
применимы в этой задаче.
Другое доказательство сходимости рядов Хилла дал А. Уинтнер [60]. Г. А.
Мерман [65], М. С. Петровская [66] и Ю. А. Рябов [67] занимались
расширением области сходимости рядов Хилла. Последнему принадлежит
наиболее общий результат (| m | ^ 0,258).
§ 2.09. Характер сходимости рядов классической теории возмущений
Если при интегрировании дифференциальных уравнений для оскулирующих
элементов применяется какой-нибудь из классических методов теории
возмущений (см. ч. IV), то любой элемент на первом шаге представляется
выражением вида
е= i i i +Lsin (ы-+**++c,+e
^1==-oo k2= ~ 0° Si. Sj
(10.2.33)
где'Mi, n2- невозмущенные средние движения планет (мы рассматриваем
планетный вариант задачи трех тел), 1\,12- средние долготы, С, Е0, DSu s,
- постоянные (С для некоторых элементов может равняться нулю, независимо
от того, соизмеримы или не соизмеримы ri\ и п2), ВкЧ,1\ зависит от аи а2,
еи е2,
• 2 1 sm2 у.
Если П\ и п2-рациональные числа, то существует бесконечное множество
значений kx и k2, для которых k\ii\ + k2n2 = 0 и члены с такими индексами
k\ и k2 включены в Ct. Делители с другими значениями &i и k2 будут
ограничены снизу общей постоянной, поэтому ряд из (10.2.33) будет
