Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
части переменных. Действительно, если вектор Ф имеет компоненты Х\, х2,
.. ., хк (к < п), то тогда речь идет об устойчивости лишь k компонент
вектора х = 0. Пусть вектор у имеет компоненты хи ¦. •, Хь.
Теорема В. В. Румянцева [123]. Если существует знакоопределенная по
отношению к вектору у функция V (х, t), полная производная V(х, t) по t
которой в силу системы (10.3.16) является знакопостоянной функцией
противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то тривиальное
решение ле=0 устойчиво по отношению к вектору у.
Определение знакопостоянной и знакоопределенной по отношению к части
переменных функции 1/(ле, /) можно найти в [87], [123].
§ 3.07. Связка первых интегралов. Способ Н. Г. Четаева
Пусть система (10.3.16) имеет известных первых ин-
тегралов
Fl(x) = cl (/ = 1,2........s). (10.3.21)
Рассмотрим дифференцируемую функцию
V = V(FU F2......Fs, Я" Я2......Ят), (Ю.3.22)
зависящую от некоторых неопределенных постоянных параметров Яь Яг, .. ¦,
Ят, подбираемых таким образом, чтобы функция
V была бы знакоопределенной. Очевидно, что в силу уравнений всегда V
= 0, поэтому если V является знакоопределенной, то отсюда вытекает
устойчивость исследуемого решения х = 0 (заметим, что здесь вектор х
означает "возмущения"), В конкретг-ных примерах основная задача состоит в
выборе параметров Я,-, чтобы V была бы знакоопределенной. Изложенный
способ предложен Н. Г. Четаевым [124] и оказался весьма эффективным в
различных разделах механики, в частности в небесной механике и
астродинамике. Довольно часто зависимость (10.3.22) имеет линейный вид
относительно параметров Я,-, и эти параметры выбираются таким образом
[125], чтобы разложение V в окрестности дс = 0 начиналось с квадратичной
формы. Если построенная функция V является знакоопределенной, то
тривиальное решение ж = 0 устойчиво, так как V = О,
838
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 3.08
§ 3.08. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теорема И. Г.
Малкина
Пусть в полицилиндре К* = {Т < t <. оо, ||у]| < /1} наряду с системой
(10.3.16) задана система п дифференциальных уравнений
^ = X(y,t) + R(y,t), (10.3.23)
где вектор-функция R(y,t) характеризует постоянно действующие возмущающие
факторы. В отличие от Х(х, t), которая тождественно равна нулю при х = 0,
R{y,t) может и не обращаться тождественно в нуль при у = 0.
Определение. Тривиальное решение х = 0 системы
(10.3.16) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях,
если для любого е > 0 существуют 6i(e) и 62(e) такие, что всякое решение
у системы (10.3.23), для которого начальная норма ||у<°>|| удовлетворяет
условию
|] у{0) ]| < б] (е)
при любом векторе R(y,t), удовлетворяющем в полицилиндре {to^t < Иу|1<
е}, условию
Н*(у, OIKMe),
само удовлетворяет при всех t > t0 неравенству
IIУ (t, Уф), to) II < е.
Впервые определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях
было дано в статье Г. Н. Дубошина [126].
Теорема И. Г. Малкина [72]. Если для системы (10.3.16)' существует
знакоопределенно положительная функция V(x,t), полная производная по t
которой V(x, t) в силу системы
(10.3.16) является знакоопределенно отрицательной и если в полицилиндре
К* норма I"§7" I ограничена, то тривиальное решение х = 0 устойчиво при
постоянно действующих возмущениях.
Г. Н. Дубошиным [126] было дано первое общепринятое определение
устойчивости при постоянно действующих возмущениях и рассмотрены
некоторые, весьма важные в приложениях, слу' чаи теоремы об устойчивости
при постоянно действующих возмущениях, когда возмущающие факторы R(y,t)
голоморфны по у и не зависят от t.
S з.1б]
ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЁСНОИ МЕХАНИКЕ
839
§ 3.09. Теоремы Лапласа - Лагранжа и Пуассона
об отсутствии вековых возмущений больших полуосей
Теорема Лапласа - Лагранжа [59]. Если невозму-щенные средние движения
планет в планетном варианте задачи N тел несоизмеримы, то большие полуоси
планетных орбит (и, следовательно, средние движения и канонические
элементы L) не содержат вековых возмущений первого порядка относительно
возмущающих масс.
Теорема Пуассона [59]. Если невозмущенные средние движения планет
несоизмеримы, то возмущения второго порядка {относительно возмущающих
масс) больших полуосей не имеют вековых членов.
Исследования возмущений третьего порядка больших полуосей показали, что
они содержат вековые возмущения [79].
Теоремы Лапласа - Лагранжа и Пуассона указывают лишь на устойчивость в
смысле Лагранжа (см. § 3.03) планетных орбит на конечном промежутке
времени. Чем меньше возмущающие массы, тем больше этот промежуток.
§ 3.10. Теоремы об устойчивости планетных орбит
Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в
основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. IV, § 8.03), которые
получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате
замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч. IV, § 6.04) с
точностью до величин второго порядка малости (относительно
