Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
kx и k2) и Ф = аЯ? - - рАДг + Y^2 Ф 0 (а, р, у - постоянные коэффициенты
[82]).
Числа Я[ и Яг (или отношение Я1/Я2), удовлетворяющие противоположному
условию
kfa + k2h2 = Q, (10.3.41)
образуют множество меры нуль. Таким значениям Я[ и Я2 соответствует
множество значений ц меры нуль, удовлетворяющих неравенству (10.3.40).
Ю. Мозер показал, что условие "Й1Я1 + k2X2 ф 0 для любых целых чисел k[ и
k2" может быть заменено менее жестким условием "^Я + йгЯг ф 0 для
значений k\ и k2, удовлетворяющих неравенству 0 < | k\ | + | k21 ^ 4".
Таким образом, результаты Леонтовича и Мозера утвер~ ждают, что
треугольные лагранжевы решения плоской ограни-
§ 3.12]
ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
845
ченной круговой задачи трех тел устойчивы для всех значений ц,
удовлетворяющих неравенству (10.3.40), кроме, быть может, трех значений,
подчиняющихся условиям
kiki + k2k2 = 0, 0 < | ki | + I k2 | ^ 4,
или
кЯ,1 - "Ь Yta == 0.
(10.3.42)
Существуют лишь три таких значения н:
''•"ТО "Vw)1 ^ = -д/Ю1 ^3" 0,01091367.
(10.3.43)
Исследование устойчивости лагранжевых решений для этих значений ц
выполнено в работах А. П. Маркеева [83], [84], [127].
Комбинируя метод преобразований Биркгофа гамильтоновой системы к
нормальной форме [41] с теоремами Ляпунова о неустойчивости (см. § 3.05)
и со способом Четаева (см. § 3.07),
А. П. Маркеев доказал, что при значениях ц, равных щ и цг (10.3.43),
лагранжевы треугольные решения (точки либрации L4 и L5) плоской
ограниченной круговой задачи трех тел неустойчивы, а при Ц = цз эти
решения устойчивы.
Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных
лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. В
[128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных
решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им
доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега)
при всех значениях и, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух
значений, и = и = ц2 из совокупности (10.3.43), треугольные точки
либрации устойчивы. При ц = Hi и и = Ц2 имеет место неустойчивость.
Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в
окрестности Li и L5. В плоском случае любая точка из достаточно малой
окрестности L4 и Ls при всех значениях и, удовлетворяющих условию 27ц(1 -
ц) < 1, кроме двух (и = Hi, ^ = цг), порождает условно-периодическое
решение. Другими словами, точки L4 и Lb устойчивы в смысле Ляпунова. В
пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой
окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения.
Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые
точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому
говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных
точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел
преждевременно.
846
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
" 3.13
Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования
окрестности точек либрации Z.4 и LB ограниченной эллиптической задачи
трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно
истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом
приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для
близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации
L4 и L$ неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована
теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до
первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат
согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем
многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь
аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и
неустойчивости на плоскости параметров ц, е (ц- малая возмущающая масса,
е - эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений
(уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е
A. П. Маркеевым [132] получены утверждения об устойчивости для
большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, формальной
устойчивости и неустойчивости по Ляпунову в зависимости от значений
параметров ц и е.
§ 3.13. Устойчивость других решений задачи трех тел
Пуанкаре в "Новых методах" [2] доказал, что решения плоской ограниченной
круговой задачи трех тел, устойчивые в см.ыс~ ле Хилла (см. § 3.03),
будут устойчивыми по Пуассону и, следовательно, обладают свойством
возвращаемости в любую сколь угодно малую окрестность начальной точки.
Устойчивость по Пуассону свойственна и для других законов тяготения [2],
отличных от ньютоновского, если рассматривается плоская ограниченная
задача и существует интеграл энергии. В неограниченной задаче трех тел
свойство траекторий быть устойчивым по Пуассону в общем не сохраняется.
Н. Д. Моисеевым построены [28], [29] области сплошной устойчивости и
