Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
точек плотности всех множеств Ah- Множество всех вещественных чисел, не
принадлежащих Л, имеет меру нуль.
Теорема 1. Если ^еЛ, то тривиальное решение (10.3.31) р = q = 0 системы
(10.3.27) с гамильтонианом Н(р, q, t) общего эллиптического типа
(10.3.28) устойчиво в смысле Ляпунова.
Пусть теперь имеется автономная гамильтонова система с двумя степенями
свободы вида
Определение. Если гамильтониан Н(ри р2, qu Яг) представим в виде
то такой случай, согласно определению Арнольда, называется общим
эллиптическим случаем для гамильтоновой системы с двумя степенями
свободы. Для случая п степеней свободы Арнольд дает определение общего
эллиптического случая в работе [36]. Гамильтониан, приведенный в § 1.07,
принадлежит к общему эллиптическому типу.
Теорема 2. Тривиальное решение р\ = Рг = Ч\ = Яг = Ъ (положение
равновесия) автономной системы (10.3.33) с гамильтонианом Н(ри Рг, qu Чг)
в общем эллиптическом случае устойчиво в смысле Ляпунова, если %2/h е Л.
Получены также некоторые результаты по устойчивости автономных систем
общего вида с внутренним резонансом частот
(10.3.32)
dq: _ дН dq2 _ дН
dt др I 1 dt др2 '
dpi дН dpг дН
dt dq i ' dt dq2 '
(10.3.33)
H(Pu Рг, Ч\, Чг):=^1г1 + ^ггг + H0(r[t r2) + Н (р\, р2, qu q2),
причем
h (е) = Н0 (еЯ2, - е^) Ф 0,
(10.3.34)
(10.3.35)
[144] - [147}
s 3.12) ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ 843
§ 3.12. Устойчивость лагранжевых равновесных решений
задачи трех тел
Лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел неустойчивы в смысле
определения 1 (§3.01). Действительно, если рассматривать некоторое
частное решение неограниченной задачи трех тел, определенное начальными
условиями, близкими к лагранжевым, то для этих начальных данных центр
масс системы будет двигаться в неподвижной системе координат со
скоростью, отличной от скорости, определенной лагранжевыми начальными
данными. А это приводит к тому, что по истечении некоторого конечного
промежутка времени точки, изображающие возмущенное движение, будут
находиться на достаточно большом расстоянии от точек, изображающих
лагранжево движение в абсолютной системе координат.
В связи с этим Раус [81] ставит и решает в первом приближении вопрос об
устойчивости постоянной треугольной конфигурации, образованной тремя
телами. Другими словами, решается задача об орбитальной устойчивости
периодического лагран-жева решения.
Позднее Ляпунов доказал более общий результат [64,1, что если масса одной
из точек достаточно велика по сравнению с массами двух других тел, то
треугольник Лагранжа в задаче трех тел устойчив в первом приближении при
условии, что эксцентриситеты орбит меньше единицы.
Когда эксцентриситеты орбит близки к нулю, лагранжев треугольник устойчив
в первом приближении, если массы трех тел т0, Ш\, т2 удовлетворяют
условию
-(m°,+ m' ~ЬЗ)2- . > 27. (10.3.36)
mQmi + mom? + гп\гп2
Замечание. Устойчивость в первом приближении лагран-жева треугольника в
ограниченной круговой задаче трех тел имеет место при выполнении условия
-(m°+-mi)- > 27, (10.3.37)
maml
получающегося из (10.3.36) при т2 = 0. Условие (10.3.37) в точности
совпадает с условиями (5.2.41) и (5.2.42).
Существенно, что при выполнении условия (10.3.37) можно говорить не
только об устойчивости конфигурации, образованной тремя телами, одно из
которых имеет нулевую массу, но и об устойчивости треугольных лагранжевых
решений в первом при-ближении в смысле определения 1 (§ 3.01).
Усилия многих исследователей были направлены на то, чтобы исследовать
устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной круговой задачи
трех тел не только в первом
844
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
1$ 3.12
приближении. Однако до появления работы Арнольда [80] все попытки
оказались тщетными. Так как уравнения ограниченной задачи гамильтоновы,
то отсюда следует [41], что в первом приближении устойчивость имеет место
только в том случае, когда все собственные значения матрицы линейного
приближения [59] имеют нулевые вещественные части [41] (см. ч. V, §
2.05). Это.- особый случай в теории устойчивости (по терминологии
Ляпунова), так как учет малых членов высшего порядка может существенно
изменить поведение решений в окрестности лагранже-вых решений.
А. М. Леонтович, опираясь на общие теоремы Арнольда (см. § 3.11),
доказал, что для всех значений масс т0 и ти удовлетворяющих условию
(10.3.37), кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль, лагранжево
треугольное решение ограниченной круговой задачи трех тел устойчиво [82].
Корни характеристического уравнения (5.2.40) выражаются равенствами
ViTV^27WTW, (Ю.3.38)
*2 = -^-Vl-Vl - 27ц(1 -ц) , (10.3.39)
а условие (10.3.37) в обозначениях m0 = 1 - ц, и т.\ = ц - за-
писывается в виде
27|х (1 - |х) < 1. (10.3.40)
Пользуясь формулами (10.3.38) - (10.3.40), результат Леон-
товича можно сформулировать также следующим образом:
либрационные решения L4 и L$ плоской ограниченной круговой задачи трех
тел устойчивы в смысле Ляпунова, если + k2X2 Ф 0 (для любых целых чисел
