Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы
(10.3.24)
(10.3.25)
Здесь рассматривается планетный вариант задачи п тел (п - I планета и
центральное тело), nih, пь - масса и среднее движение А--й планеты, ah,
еь - большая полуось и эксцентриситет ее орбиты, ih - наклон й-й планеты
относительно плоскости Лапласа (см. ч. IV, § 1.01). Интегралы (10.3.24) и
(10.3.25) впервые были найдены Лапласом.
Анализируя эти интегралы, Лаплас доказал теорему об "устойчивости"
планетных орбит в первом приближении.
П-I
ZmiPka2A = ci>
k= 1
nf.mknka\ig4k = Cr fe= 1
840
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
IS Э.10
Теорема Лапласа. Пусть выполняются следующие ис-ловия:
1) двиоюение всех планет происходит в одном направлении (каждое
слагаемое в интегралах (10.3.24) и (10.3.25) положительно) ;
2) массы всех планет mh {k=\, 2, ..., п - 1) одного порядка
3) большие полуоси орбит ак являются колеблющимися и ограниченными
функциями времени /е(/0, Г), мало изменяющимися около некоторых средних
значений-,
4) в некоторый начальный момент времени t0 все эксцентриситеты и
наклоны eh(to), ik(t0) малы.
Тогда eh(t) и ih(t) являются малыми функциями для всех *е(*о, Т).
Теорема Лапласа, конечно, не позволяет сделать вывод о том, что
гипотетическая планетная система (и, в частности, Солнечная система)
устойчива в смысле Лагранжа для /с(/0, оо), так как, во-первых, строго не
известно, выполняется ли условие 3) для всех t е(?0, оо) [известно лишь,
что в первом и во втором приближении большие полуоси не имеют вековых
возмущений (см. § 3.09)], а во-вторых, интегралы (10.3.24) и
(10.3.25) являются интегралами приближенных уравнений.
Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка
позволяет лишь утверждать, что на конечном хотя, быть может, и весьма
большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет)
движение планет имеет условно-периодический характер. Такие движения
Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче [36] (они,
естественно, отличны от лагранжевых равновесных решений). Существенное
добавление к решению проблемы устойчивости принадлежит Арнольду.
Теорема Арнольда [80]. Если массы планет, эксцентриситеты и наклоны их
орбит достаточно малы при некотором t = tQ, то для большинства начальных
условий движение планет имеет условно-периодический характер для всех
вещественных значений времени -оо < t < оо и мало отличается от лагран-
жева движения с подходящими начальными условиями.
Условно-периодические решения порождаются начальными условиями,
принадлежащими области F6, определенной формулой "(10.1.53). Для
начальных условий, принадлежащих области fs = F\Ft [F - область, в
которой происходит движение планет, определена формулой (10.1.44)],
вопрос о существовании условно-периодических движений остается открытым.
Правда, при этом мера f6 может быть сделана сколь угодно малой по
сравнению с мерой F6.
§ 3.11]
ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
841
Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в
планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальных
условий не только в первом, но и в любом приближении.
Если определить вероятность устойчивости в смысле Лагранжа планетной
системы как
<|0-3-26>
то можно утверждать, что движение планет устойчиво с вероятностью Р,
сколь угодно близкой к единице.
Замечание 1. Р= 1 не влечет за собой устойчивость в смысле Лагранжа
планетной системы, так как в этом случае остается множество меры нуль,
которое может, вообще говоря, порождать неограниченные движения.
Замечание 2. Теорема Арнольда доказывается при условии, что области, в
которых происходит движение каждой планеты, не пересекаются. Это условие
необходимо и в классической теории возмущений.
§ 3.11. Теоремы Арнольда об устойчивости решения
гамильтоновой системы в общем эллиптическом случае
Арнольд установил общие теоремы об устойчивости положения равновесия
гамильтоновых систем в общем эллиптическом случае [80], которые оказались
эффективными при исследовании устойчивости лагранжевых треугольных
решений.
Пусть имеется гамильтонова система с одной степенью свободы
dq дН dp дН
dt др ' dt dq '
(10.3.27)
где гамильтониан представляется формулой
Я (р, q,t) = lr+t с/ + Я (р, q, t), (10.3.28)
1=2
r=Pl±l1, (10.3.29)
Я (р, q, t) = О (rrt+I). (10.3.30)
H{p,q,t) предполагается аналитической по р, q, t и 2л-периоди-ческой по
t.
Уравнения (10.3.27) имеют тривиальное решение (положение равновесия)
p = q = 0, (10.3.31)
842
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 3.11
Определение. Общим эллиптическим случаем для гамильтониана (10.3.28)
называется случай, когда среди постоянных с2, Сз, с4, ..., сп (п может
быть сколь угодно большим) есть отличные от нуля.
Пусть К - некоторое иррациональное число. Обозначим через Ль множество
таких иррациональных чисел Я, для которых выполняется неравенство
при всех целых m > 0, п > 0. Пусть, кроме того, Л является объединением
