Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
ch и, sh и четвертой степени;
б) в виде сумм полиномов относительно cos v, sin v, ch и, sh и второй
степени и квадратных радикалов от таких же полиномов четвертой степени;
в) в виде сумм полиномов второй степени и квадратных радикалов от
отношений полиномов шестой и четвертой степени [120].
Замечание. Методы поиска решений в буквенном виде на ЭВМ являются, строго
говоря, не обоснованными, так как они сопровождаются многими ошибками.
Они лишь служат средством прогноза в аналитических теориях. Однако они
особенно эффективны, если уравнения имеют известные первые интегралы,
используемые для контроля вычислений. Именно так обстоит дело в
ограниченной круговой задаче трех тел, где имеется интеграл Якоби.
Глава 3
ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ
В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
Основная задача теории устойчивости движения - это установление
критериев, позволяющих судить, будет ли данное движение устойчивым или
неустойчивым. При этом понятия "устойчивость движения" или "устойчивость
решения" трактовались в предшествующий период и трактуются в настоящее
время по-разному. В хронологическом порядке, по-видимому, сначала
появилось понятие "устойчивость по Лагранжу", далее "устойчивость по
Пуассону", "устойчивость по Хиллу", "устойчивость по Якоби",
"устойчивость по Ляпунову", "устойчивость на конечном промежутке
времени", "устойчивость при постоянно действующих возмущениях" и др.
Хотя возраст теории устойчивости соразмерен с возрастом теории
дифференциальных уравнений, лишь в 1892 г. благодаря Ляпунову она
получила наиболее общую постановку и, главное, весьма мощные и
математически строгие методы исследования. В приложениях постановка
задачи об устойчивости движения, принадлежащая Ляпунову, и методы,
созданные им, оказались весьма удачными и эффективными.
§ 3.01. Определение устойчивости по Ляпунову
Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение
4г =*(*¦*)¦ (10.3.01)
где п-мерная вектор-функция f(x,t) определена в (п+^-мерной области
G"+i=GnX/", t^h={a, оо), д;еО", С" - область в n-мерном пространстве /?".
Пусть, далее, уравнение (10.3.01) допускает частное решение х = x(t). Это
решение, следуя Ляпунову, будем называть невозмущенным, а все другие -
возмущенными.
830 Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА [§ 3.01
Определение 1 [32]. Частное решение (невозмущенное движение) x =
x(t) называется устойчивым по Ляпунову по
отношению к вектору х, если для любого е>0 и ^е(а, оо)
существует fi = 6(e,^0)>-0 такое, что выполняются следующие условия:
1) все решения x(t) [в том числе и *(01, удовлетворяющие условию
11*(*о)-ж(Ш<6, (10.3.02)
определены в бесконечном интервале to ^ t < 00;
2) для этих решений справедливо неравенство
|| х (0 - ж (/о) II < в (10.3.03)
при всех t0 ^ t < оо.
Здесь норма вектора x(t) понимается как сумма модулей
П
компонент || * (0II - X I (0 I-ft=i
Определение 2. Если 6 = 6(e) (не зависит от to е Т) и выполняются
остальные условия определения 1, то решение x(t) называется равномерно
устойчивым в области Т.
Определение 3. Решение x(t) называется асимптотически устойчивым при t ->
оо, если оно устойчиво и к тому же для любого /ое(а, оо)
существует Л = Л(?о)>0 такое, что
все решения x(t), удовлетворяющие начальному условию
||дс(/0) -*(^о)11 < А, обладают свойством
lim || x{t) - x (011 = 0. (10.3.04)
ОО
В частности, тривиальное решение x(t) = 0 асимптотически устойчиво, если
оно устойчиво и
lim *(/) = 0. (10.3.05)
f->oo
Определение 4. л-мерный шар Цж|[ ¦< А(^о) при фиксированном to называется
областью _притяжения положения равновесия- тривиального решения х(/) = 0,
изображаемого началом координат в системе Ох\Х2 ... хп.
Определение 5. Пусть область Gn_= Rn. Если имеет место определение 3 и Д
= оо, то решение x(t) называется асимптотически устойчивым в целом. Для
асимптотически устойчивого в целом решения его областью притяжения
является все пространство Rn. _
Определение 6. Решение x(t) называется неустойчивым по Ляпунову, если для
некоторых е > 0, to е (а, оо) и любого
§ з.02] гл. з. Проблема устойчивости в небесной механике
831
6>0 существует хотя бы одно решение лс4(t) и момент t\ = = (б) > to
такие, что
II(t0)-х(t0)II <6 и Ц":й(Ь)-х(^)Ц>е. (10.3.06)
Определение 7. Решение x(t) уравнения (10.3.01) называется устойчивым при
постоянно действующих возмущениях F(t,y), если для любых е >¦ 0 и
to^(a,oo) существует 6 = = 6(e,to)>0 такое, что при W(y> 0II < б все
решения y(t) векторного уравнения
= t) + F(V, t), (10.3.07)
удовлетворяющие условию ||y(fo)|| < б, определены в бесконечном интервале
t е [f0) оо) и к тому же
|| y(t) - x (t) || < е при / <= [/", оо). (10.3.08)
Аналогичные определения можно дать и для -оо <z t ^to-
Ляпуновым разработаны два общих метода исследования на устойчивость
решений дифференциальных уравнений, получившие в литературе название
"первого метода Ляпунова" и "второго метода Ляпунова".
В § 3.05 приводятся основные теоремы Ляпунова. Эти выдающиеся результаты
послужили источником для огромного количества работ по качественной
