Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
уравнение
где <7ь <7г - обобщенные координаты.
К такому уравнению сводится уравнение Штеккеля (10.2.12) для k = 2 и
обобщение В. Г. Демина [115].
Теорема [116]. Не существует никакая невырожденная дифференцируемая
замена переменных
преобразующая уравнение Гамильтона - Якоби (5.2.56) в уравнение
(10.2.14).
Замечание. Если вместо уравнения (10.2.14) рассматривается оно же,
помноженное на общий множитель X(qu q2) Ф- 0, то можно доказать, что
утверждение теоремы остается в силе.
§ 2.06. Соударения
Пусть в абсолютной прямоугольной системе координат 0| рассматривается
задача п тел (Pi(nii\ r]i, ?0 i = 0, 1, 2, ... ..., п - 1), и пусть А (|,
fj, ?) - некоторая конечная, но нефиксированная точка в 0|т]?. Обозначим
через г,- расстояние APi.
Определение, k-кратным соударением (или столкновением) точек Рпj, Рп2, ¦
¦ ¦, Pnh (0 ^ ^ п- 1, 0 ^ п2 С п-1, ...,
0 ^ "h ^ п-1; П{фП}, если i Ф /) в конечный момент времени 7 называется
явление, описанное условиями
f 1 (^7i) -Ь Ф1 С*?1)] +h (<72)[-^7+ФгЫ] -(r)i (<7i) + (r)2 (<7г),
(10.2.14)
(10.2.15)
limr"s = 0 (s = 1, 2, ..., k). (10.2.16)
Точка А называется точкой соударения, 1 - момент соударения.
Очевидно, что наименьшее значение k равно 2 и мы имеем парное или двойное
соударение, наибольшее значение k равно ц
818 Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА [g 2.06
и в таком случае точка соударения А совпадает с центром масс системы G.
Если h <С 0 (h - постоянная интеграла энергии), то в задаче двух тел при
прямолинейном движении будет бесчисленное множество вещественных моментов
соударения, определяемых по формуле
h = io + ^r (k = 0, ±1, ±2, ...), (10.2.17)
где rt==V7M±^L, д - большая полуось орбиты, т. е. поло-
а
вина длины прямолинейного отрезка, в который вырождается эллипс при е->1-
0, ?0 - один из моментов соударения.
При h ^ 0 существует лишь один вещественный момент соударения, хотя, если
рассматривать комплексные значения времени, здесь также будет
бесчисленное множество моментов соударения. Расстояние между телами в
окрестности момента соударения представляется разложениями
А<0, г = (3/ mi) J'(t - h)'1' +fjan(t~ tk)n/\ (10.2.18)
A = 0, г = (3/-(--^bmi)y/j {t - Fo)'/s, (10.2.19)
A > 0, r = (3f (m° + mi) y* (t - ?")''* + ? (/ _ taf\ (Ю.2.20)
rt=3
Отсюда следует, что для скорости имеем ряды
А < 0, о = ^ = (Ш2=+^!) у- (, - ?,)-'¦ + ?"Ь (,_ ,-/?,
(10.2.21)
ft = 0, v )*"-(" Г'\ (10.2.22)
*>0, "=(•Ша+й!У'(,_+ ?аЬ.(f_
(10.2.23)
Формулы (10.2.21)-(10.2.23) показывают, что для любого А
limo = + oo (10.2.24)
t-*t
и _ ___________
lim v Уг = tfGf (то + т,) f (т0 + т.\), (10.2.25)
п-З
3
g 2.06]
ГЛ. 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
819
Формулы (10.2.21) - (10.2.23) весьма важны, так как и в задаче трех тел в
случае двойных соударений имеется та же асимптотика.
Если вместо времени в качестве независимой переменной рассматривать
эксцентрическую аномалию, то уравнения движения не будут иметь
особенность, т. е. эксцентрическая аномалия играет роль регуляризирующей
переменной. Детально эти вопросы изложены в [59], [60].
Исследование кратных соударений в задаче п ^ 3 тел чрезвычайно сложно
потому, что до настоящего времени не известны необходимые и достаточные
условия наличия кратных соударений или их отсутствия.
Необходимое условие п-кратного соударения (теорема Вейер-штрасса -
Слудского - Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием n-кратного
соударения в задаче п тел в конечный вещественный момент времени является
равенство нулю момента количества движения с системы.
Теорема Зундмана. В заоаче трех тел |с| = 0 только в том случае, если
движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости (см. [5]).
Таким образом, для исключения тройного соударения в задаче трех тел
следует считать, что jcj ф 0. Именно в этом предположении, конечно, не
исключающем двойных соударений в задаче трех тел, Зундман исследовал
характер последних и оценил величины кинематических и динамических
параметров системы (прежде всего взаимные расстояния и относительные
скорости). Зундманом, в частности, доказаны следующие утверждения.
1) Если |с|>0, то на любом конечном отрезке времени может иметь место
только конечное число двойных соударений. Другими словами,
последовательность последующих моментов соударения {?*}
fo < * 1 < h < ... < tk < ...
(?"- некоторый начальный момент) не может сходиться к конечному пределу.
Это утверждение справедливо и для моментов соударений, предшествовавших
(о, так как уравнения движения задачи трех тел, написанные в неподвижных
прямоугольных координатах, инвариантны относительно замены t на -t.
2) Если |с|>0 и t - момент соударения двух тел, то при отрезок,
соединяющий эти тела, стремится к определенному
предельному положению, а его угловая скорость стремится к нулю (движение
- почти прямолинейно, как в задаче двух тел). Более того, расстояние
монотонно убывает, а скорость неограниченно возрастает, причем имеет
место равенство типа (10 2.25)
820
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
