Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивости в плоской ограниченной круговой задаче трех тел с помощью
критерия Уиттекера.
Существенные результаты по устойчивости решений гамильтоновых систем, к
которым относится и ограниченная круговая задача трех тел (плоская и
пространственная), принадлежат
B. Г. Демину [87]. Им доказано, что в случае спутниковых орбит или в
случае орбит, охватывающих обе притягивающие массы, гамильтоновы
уравнения-ограниченной задачи трех тел, путем замены переменных, можно
привести к "невырожденному ^случаю" (хотя первоначальная задача является
вырожденной) и
S з.м]
ГЛ. 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
847
к ним, следовательно, применима теорема Арнольда об устойчивости в
эллиптическом случае (см. § 3.11). Таким образом,
В. Г. Деминым доказано, что периодические и условно-периодические
решения ограниченной круговой задачи трех тел спутникового типа или
охватывающие обе притягивающие массы орби-тально устойчивы (устойчивы
относительно всех кеплеровских элементов, кроме средней аномалии).
§ 3.14. Устойчивость орбитальных движений
искусственных спутников
Исследованию устойчивости движения спутников в последние годы уделяется
большое внимание. Работы по этой проблеме можно разделить на две группы:
1) исследование устойчивости движения центра масс (орбитального
движения) спутников;
2) исследование устойчивости движения спутника относительно центра
масс.
Второе направление обсуждается в части IX. Мы коснемся работ, примыкающих
к первому направлению.
Известно [20], [47], [71], [87], [133], что спутниковая задача с
осесимметричным гравитационным полем допускает круговые решения. В. Г.
Деминым получены [87], [134] необходимые и достаточные условия
устойчивости таких орбит материальной точки (спутника). Необходимые
условия получены с помощью теоремы Ляпунова "первого метода" (§ 3.05).
Достаточные условия получены с помощью способа Четаева (§ 3.07)
образования линейной, относительно параметров X, (§ 3.07), и
квадратичной, относительно первых интегралов, связки (задача имеет два
известных первых интеграла [87]), т. е. функция Ляпунова отыскивается в
виде
V = faFi + faF* + ^2, (10.3.44)
где Fi, F2 - левые части интегралов площадей и энергии (см. (4.1.23),
(4.1.24)), записанные в цилиндрических переменных
Р, Я, 2.
Если постоянно действующие факторы R(y,t) (§ 3.08) малы и не зависят от
долготы, т. е.
К (у, t) = цф (р, 2, fi),
то устойчивость круговых орбит не нарушается при достаточно малых по
модулю значениях параметра ц. Другими словами, зональные гармоники в
разложении потенциала центрального тела (см. ч. IV, гл. 5 и ч. VI) не
нарушают устойчивости круговых орбит, если только разложение потенциала
сходится "достаточно быстро".
848
Ч. X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
[§ 3.14
Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает
круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях
исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного
варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача
допускает в качестве частных решений так называемые "эллипсоидальные и
ги-перболоидальные орбиты" [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на
гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и
если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов
замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсоида.
Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как
при t -*• ± оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помощью
связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты
устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и
гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость
движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137].
Если спутник имеет стреловидную форму, а центральное тело суть шар со
сферическим распределением плотности, то такая задача, в частности,
допускает частные решения, в которых центр масс движется по круговой
орбите вокруг шара.
Г. Н. Дубошиным не только найдены частные решения в этой задаче [139], но
и изучена их устойчивость. Доказано [87], [139], что круговые орбиты
центра масс стреловидного спутника устойчивы по отношению к
цилиндрическим переменным и их производным р, z, |р|, |z|, |Я| при
наличии постоянно действующих возмущений, обусловленных формой спутника,
если предположить, что длина спутника достаточно мала.
В заключение отметим, что многие, не затронутые здесь, вопросы
устойчивости орбитальных движений изложены в монографиях В. Г. Демина
[87] и В. В. Румянцева [89].
ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ X
1. Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
Физматгиз, 1961.
2. Пуанкаре А., Избранные труды, т. I, "Наука", 1971; т. II, "Наука",
1972.
3. Малкин И. Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных
колебаний, Гостехиэдат, 1949.
4. М а л к и н И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний,
