Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
вращения и уровенной поверхностью.
Формула Брунса-.
!-(тг+тВ"2(ш!-2"М; <9U04)
здесь д/дп - производная по нормали к уровенной поверхности, Ri, R2 -
главные радиусы кривизны уровенной поверхности, g -¦ ускорение силы
тяжести.
Редукция Фая. Из (9.1.104) для Земли при
f = 6,67 ¦ 10-8, xt = 0,013, ш = 0,000073,
776 ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС 1S 1.09
где X] - плотность воздуха, получаем формулу для приведения в свободном
воздухе:
-|f- = 0,3086(1 +0,00071 cos 2ф), (9.1.105)
Потенциал силы тяжести для уровенной поверхности, имеющей форму
эллипсоида вращения, равен
W = arcctg sh w +
+ за" -C2- (-S"-------------j-[(3sh2w f 1) arcctg sh w - 3sh w] -
• arctg -г- 3 -
О с
-¦^sin2 и, (9.1.106)
где использованы эллиптические координаты и, v, w, связанные с
геоцентрическими прямоугольными координатами формулами преобразования
[27]
х = с sin и sin v ch w, "j у = с sin и cos v sh w, f (9.1.107)
2 = CCOSUShl0, )
p2(cos") - полином Лежандра второго порядка, а уровенная поверхность
соответствует следующим значениям [27]:
ch w--j, shi0 = y. (9.1.108)
Из приведенного потенциала силы тяжести вытекает формула для вычисления
ускорения силы тяжести на уровенной поверхности в функции геодезической
широты, именуемая формулой Пицетти - Сомильяна:
ge a cos2 В + gB b sin2 В
Ц--26 , W' (9ЛЛ09)
Va cos2 В + b2 sin- В
в которой ge, gp - ускорения силы тяжести на экваторе и полюсе
соответственно, а В - геодезическая широта.
Глава 2
УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ИСКУССТВЕННЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
В этой главе приводятся без доказательств критерии устойчивости в смысле
Ляпунова различных режимов вращения относительно центра масс
искусственных спутников планет и космических аппаратов, которые вытекают
либо из строгого, либо и из линейного анализа уравнений движения.
Описываются различные способы стабилизации вращения космических
аппаратов. Даются только результаты исследования ограниченных задач
динамики космического полета, полученные в предположении, что
вращательное движение спутников не оказывает никакого влияния на их
орбитальное движение.
Основные результаты этой ветви астродинамики последовательно изложены в
[10] и [16]. Достаточно полно результаты указанных исследований освещены
в прекрасном обзоре В. М. Морозова [29].
§ 2.01. Устойчивость движения спутников
в гравитационном поле сил
Задача о вращательном движении небесного тела относительно его центра
инерции в ньютоновском поле тяготения допускает в качестве частных
решений положения относительного равновесия, при которых главные
центральные оси инерции спутника, движущегося по круговой орбите,
ориентированы вдоль радиуса-вектора центра масс, касательной к орбите и
нормали к плоскости орбиты (см. § 1.05).
Впервые эта проблема была изучена Лагранжем [7], который в 1780 г. указал
необходимые условия устойчивости отмеченных частных решений. В
современных терминах решение задачи дано в [1]. В последнее время в
нелинейной постановке она исследовалась В. В. Белецким [10], который
указал и проанализировал достаточные условия устойчивости. Как оказалось,
778
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
[§ 2.01
для устойчивости относительного равновесия тела на круговой орбите
достаточно, чтобы его наибольшая главная центральная ось инерции была
направлена вдоль радиуса-вектора его центра масс, наименьшая - по нормали
к плоскости орбиты, а средняя - по касательной к орбите.
Из анализа интеграла Якоби вытекает, что существует четыре устойчивых
положения относительного равновесия спутника на орбите, которые можно
получить одно из другого посредством поворотов спутника на 180° вокруг
радиуса-вектора и нормали к плоскости орбиты. При этом должно выполняться
неравенство
В>А>С. (9.2.01)
При помощи теорем Кельвина и Н. Г. Четаева В. В. Румянцев [16] показал,
что при выполнении одного из неравенств
В> С > А, С> А> В, А> В> С (9.2.02)
положения относительного равновесия спутника неустойчивы,
а при выполнении одного из неравенств
С> В> А, А> С > В (9.2.03)
возможна их гироскопическая стабилизация.
Положения устойчивого относительного равновесия спутников на круговых
орбитах являются центрами либраций. Границы либраций спутников были
оценены В. В. Белецким [10]. Области либрации определяются неравенствами
3[(Л-С)у2 + (В-С)/2]<Ц,
(В-Л)р2 + (В-С)р'2<-^-,
3(Л-С)у2 + (В-Л)р2<-§-,
(9.2.04)
в которых использованы обозначения § 1.05 и которые надлежит
рассматривать совместно с тривиальными геометрическими интегралами для
относительных направляющих косинусов.
Более точная оценка границ либрации несимметричного спутника приводится в
работе Ликинса и Роута [30] и опирается на анализ неравенства
з [(Л - С) Y2 + (В - С) Y,?] + (В- А) Р2 + (В - С) р"3 < %. (9.2.05)
Ряд работ посвящен исследованию устойчивости положений относительного
равновесия спутников, снабженных роторами, т. е. спутников-гиростатов.
Рассматривались два типа гиростатов. В первом типе постоянной во все
