Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
2 (т\ + т2) L2 2 Zj V Л,- Л;С, Ll
§1.06]
fji. l. уравнёнйя Движения
769
Указанные направляющие косинусы вычисляются по форму-
лам
ct - --1- с^ " Ч- с^ --
ЬП Г ^ 21 Г ' 31 г >
Р( = ^7 + ^7 + ^Т' Yi=ci37 + 4з)Т- + с$Т1
(9.1.80)
где х, у, z - координаты точки 02 в системе OjATZ.
В канонических переменных коэффициенты в выражениях для направляющих
косинусов задаются формулами
СЙ = [l, Vg? - Н] sin hi +
+ Vg?-l?(g, sin g, cos Аг + tf г sin ht cos g^)] ,
= [-Lt^Gl-H*cos ht+ (9.1.81)
+ Vg? - Lt {Gi sin gi sin ht - Ht cos ht cos g-()] , сзз = та {LtHt -
л/(0?-А?)(е?-Я?) cos g().
Разложение гамильтониана (9.1.77) в ряд имеет следующий вид; f2m\m% 1
¦2
F =
2 (mj + m2) L ,б 6
+
32 (m, + m2)3 L6
f 1 я* H Jti1 - Нг H,J G\-H2,
X (Ci - ^i) | + ^2 + ^ Ц cos(A-A,) +
G2 - H2 Г G] - H\ ЯП )
+^l^rC0Sl'ft-w-4Jj +
6
i V1 Г sin * , sin . I ,
+ La Г2' cos lgi + °3' cos lg2\ +
1=I
+ i Eki"((r)+'0+<?"(№+'¦')]¦ <91-82)
IM=W=1
где au, a2i, a3l, a§, a(J) - функции канонических переменных L, G, H, Lt,
Gt, Hi, g, h, ht.
25 Под ред. Г, H. Дубошинэ
770
4. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСЙ
[$ 1.07
§ 1.07. Вращение Луны
Характерные особенности в движении Луны были изучены Домеником Кассини
(см. ч. I, § 4.08).
Законы Кассини легли в основу физической либрации Луны. Впервые им было
дано объяснение на основе линеаризованных уравнений движения Лагранжем
[7] и Лапласом [8]. Более строгое математическое обоснование было дано в
работе [18] на основе асимптотических методов теории колебаний. Там же
исследовалась устойчивость решений, соответствующих движениям по Кассини.
Раздельное изучение вращательного и поступательного движения Луны
приводит к следующим формулам [1]:
sincp = -
згр
2ц + ц2 - зр
sin (с -f n^t - Q) -f
+ 3(/ + '
ae
¦sin(d) - Й),
ft cos ф :
3i'P
(1 + (1) (2(1 + (I2 - 3ft)
(1 + v
2-5fliTC0S (c + n".t - Q) +
+ j(i + b0)j^cos(<b-Q).
р=-Ъп? {i + ft0) sin (a - Q),
q - - (t + •&<>) -jr+r008 (ш - Q) -
2(i +(i2
(1 + (i) (2(i + (i2 - 8ft)
COS (С -f tlgt - Й).
(9.1.83)
В формулах (9.1.83) ft- угол нутации, cp - угол собственного вращения, п&
- среднее движение Луны, -ее средняя
долгота, е - эксцентриситет лунной орбиты, t - ее наклонность, <d -
долгота перигея лунной орбиты, Q - долгота ее восходящего узла, ц -
коэффициент в вековом неравенстве долготы
восходящего узла лунной орбиты, а =-^-, (J:
¦у - ^ - . Постоянная fto удовлетворяет уравнению
(3/р)г_______2 + 2(i + (I2 ,
С-А В
-&о =
(1 + (I)2 (2(i + (I2 - ЗР)2
+ т(1ттте)2(Р2 + 4а^ <9Л-84)
которое приближенно дает
fto =
(1 +10 (2(1
л/1+**+¦%¦¦
(9.1.85)
§ 1.08]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
771
(9.1.86)
(9.1.87)
Если принять [1]
ц = 0,004019, v = 0,008455, i=5o08'44",
d0 = 1°ЗГ22", а = 0,000299, р = 0,000614,
то формулы (9.1.84)-(9.1.85) принимают вид О sin ф = - 5493" sin (с -f
nqt - Q) -f 947" sin (ш - Q),
Ф cos ф = - 5471" cos (c -f- n<[t - ?2) -f 972" cos (ш - Q), p = - 947"
ng sin (m - Q),
q = - 972" n<[ cos((c) -?2) -44"ng cos (c + n<it~Q).
Введем обозначение
Ф = ф - с - ntf -f Q - 180°.
Тогда формулы вращательного движения Луны приведутся к виду
Ф = Ф0- ll"cos2(c + ns^ -Q) -
- 12" cos (с -f n<[t -f- ш - 2R) -960" cos (c -f n^t - co),
Ф sin d0 - 11" sin 2 (c -f rid1 ~ й) +
-f- 12" sin (c -f- n&t -f- ю - 2Й) -f- 960" sin (c -f- n^t - m),
Ф = с + М-й~Ф+ 180°,
ip = Ф - с - n^t -f- 180° -f- 22" sin ([ - 133" sin 0,
где ([и (c) - соответственно средние аномалии Луны и Солнца, ij) - угол
собственного вращения.
§ 1.08. Дифференциальные уравнения движения деформируемого небесного тела
В небесной механике возникает необходимость исследования движений
малодеформированных планет (например, их свободной нутации). В этом
случае движение тела относят к так называемым "средним осям" [1].
Одним из способов выбора барицентрической системы координатных осей Охуг
состоит в нахождении минимума суммы квадратов отклонений отдельных
материальных точек, образующих планету, за время dt от положений, которые
бы они занимали в случае "затвердения" рассматриваемой системы. Это
условие сводится к уравнению
Е mi №i-qzi + ГУ{)2 + (Hi - rxi + Pzif + (2t - pyt + qXiY] = min.
(9.1.88)
25*
772
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Г§ 1.09
Составляющие момента количеств движения системы по координатным осям
обозначим через X, v. Тогда
Х = Ар - Hq - Gr, 'J
H=-Hp + Bq + Fr, > (9.1.89)
v = - Gp - Fq + Cr, J
где А, В, C, G, F, H - центральные осевые и центробежные мо-
менты инерции небесного тела.
Дифференциальные уравнения вращательного движения небесного тела
записываются в форме d%
-j-(------rp. q\ = L,
- pv -f rl = M,
- qX + pn = N
(9.1.90)
(при подстановке в систему (9.1.90) значений X, н, v из (9.1.89) следует
иметь в виду, что компоненты тензора инерции непостоянны).
Уравнения вращательного движения планеты с учетом ее малых деформаций в
предположении, что планета обладает осью динамической симметрии, имеют
вид
А + (С - A) nq - п -f Fп2 = L,
dt
Л^-~(С-А)пр-
