Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
и систему координат Oxyz, оси которой направлены по главным центральным
осям инерции Земли,
752
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
[§ 1.01
Положение Земли будем задавать эйлеровыми углами <р, ф, ft, введенными,
как показано на рис. 101.
Дифференциальные уравнения вращательного движения Земли можно записать в
виде *):
я dp /п sin "р /31/ л I dU \ dU
Апг-(в-с)чг=чЛЫС0В(r) + 1^)-1нгС05*'
ди
п dq ,г> совф f dU " , dU \ .
B4r-(C-A)Pr = l*?l-WC0S<* + -d?) + nWsm*'
л dr i л nv дU
спг~^А-^ря=-д^
(9.1.01)
где Л, В, С - главные центральные моменты инерции Земли, U - силовая
функция, а компоненты угловой скорости Земли по
ее главным центральным осям инерции р, q, г задаются кинематическими
уравнениями Эйлера *)
р - sin ft sin ф - ft cos ф,
q = ф sin ft cos ф -f ft sin ф,
г == ф - lj) cos ft.
(9.1.02)
Точное выражение силовой функции, входящей в уравнения (9.1.01),
представляется рядом по сферическим функциям Лежандра и его можно найти в
книге [5].
Рис. 101. Системы координат. ЕСЛИ ВОЗМуЩЭЮЩИМ ТвЛОМ
служит Солнце, то в разложении силовой функции в ряд можно ограничиться
второй сферической гармоннкой. Тогда согласно [3], [5] будем иметь
следующую приближенную формулу:
U=^~[(A-B)y2~(C-A)z2], (9.1.03)
в которой т - масса Солнца, р - его геоцентрическое расстояние.
*) Приводимые здесь динамические и кинематические уравнения Эйлера
несколько разнятся от встречающихся в динамике твердого тела, что
объясняется специальным выбором направлений отсчета эйлеровых углов,
приняты* в астрономии.
S 1.011
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
753
Если изучаемая планета обладает осью динамической симметрии, т. е. А = В,
то уравнения движения (9.1.01) будут допускать первый интеграл
При этом вместо системы (9.1.01) будем иметь уравнения вида
При /7 = 0 общее рефение системы (9.1.05) записывается следующим образом:
а а и t0 - произвольные постоянные.
2л
Период Т - -Q- называется свободным периодом Эйлера. Для
Земли он приближенно составляет 302 ср. солн. суток.
Из уравнений (9.1.06) можно найти приближенные выражения для величин
прецессии и нутации земной оси, вызванных силами солнечного тяготения
В этих уравнениях использованы следующие обозначения: ¦фо. - постоянные
величины, К = n't + Хо - долгота Солнца, а
Зп'(С - А)
? 2пА
г = ф - я|з COS ft = (В = const.
(9.1.04)
(9.1.05)
Считая величины ф, it, ft, ft, ij>, -ф2 малыми по сравнению с rnft и
coijj, уравнения (9.1.05) можно заменить следующей приближенной системой:
(9.1.06)
(9.1.07)
где
Q =
С-А
---Л---<0.
(9.1.08)
754
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Г§ 1.02
Из соотношений (9.1.08) вытекает, что полюс мира обладает сложным
движением. Он описывает эллиптическую траекторию
^ s sin ftp у~ ^ s sin 2^о у = 1 ¦ (9.1.09)
в уравнении которой
х = -J sin do COS 2Я, у = - sin 2ft0 sin 2Я,
а центр этого эллипса движется по некоторой окружности.
Числовые данные, характеризующие вращательное движение Земли и
согласованные с принятой системой фундаментальных астрономических
постоянных, приводятся в части I настоящего издания. См. также книгу С.
Н. Блажко [6].
§ 1.02. Канонические уравнения
вращательного движения небесных тел
В классической теории вращательного движения небесных тел широкие
приложения нашли методы вариации произвольных постоянных, характеризующих
некоторое вращательное движение рассматриваемого тела, принимаемое за
невозмущенное (промежуточное). Решение соответствующих уравнений
вращательного движения в оскулирующих элементах проводится стандартными
методами классической теории возмущений.
Наиболее ранние, уравнения возмущенного вращательного движения в
оскулирующих элементах были получены с помощью канонических
преобразований в работах Лагранжа [7], Лапласа [8], изложение которых
содержится в трактате Ф. Тиссе-рана [1]. В нашем веке эти методы нашли
развитие в работах
Андуайе [2]. Приложение этих методов к конкретным задачам небесной
механики и динамики космического полета можно найти в исследованиях М. С.
Волкова [9], В. В. Белецкого [10], А. Депри [11], Ф. Бауже [12], В. Г.
Демина и Ф. И. Киселева [13], Е. Б. Бибика [14] и др.
Рис. юг. углы Эйлера. Введем углы Эйлера, характе-
ризующие положение абсолютно твердого тела, относительно некоторой
системы координат OXYZ с началом в его центре масс и неизменными в
неподвижном пространстве направлениями осей. Пусть Oxyz - связанная с
телом система координат, оси которой направлены по главным центральным
осям эллипсоида инерции. Углы Эйлера вредем, как
S 1.02]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
755
показано на рис. 102, на котором \jXY и \jxy суть дуги больших кругов, а
N - восходящий узел. Тогда
¦ф = w NX - угол прецессии,
Ф = w Nx - угол собственного вращения,
Ъ - Z xNX - угол нутации.
Обозначая теперь через Т живую силу тела, а через U - силовую функцию и
вводя канонические импульсы, сопряженные с углами Эйлера
Ар = Сг,
р$ = - Ар cos ф + Bq sin ф, (9.1.10)
р^ - (Ар sin ф + Bq cos ф) sin ft - Cr cos ft, -
