Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
подвижной (связанной) системе координат, подчиняющихся уравнениям
В случае круговой орбиты центра масс (со = const) уравнения движения
допускают интеграл Якоби
Если А - В, то имеет место еще один первый интеграл
Уравнения движения (9.1.56) допускают стационарное решение
соответствующее относительному равновесию спутника на орбите, при котором
спутник все время обращен к Земле одной стороной.
Из приведенных уравнений можно получить различные приближенные формы
уравнений движения спутника относительно центра масс на круговой и
эллиптической орбитах.
В простейшем случае плоских колебаний спутника на круговой орбите
уравнения сводятся к интегралу энергии
в котором ft - угол между осью наименьшего момента инерции спутника и
радиусом-вектором его центра инерции, h - постоянная интеграла живых сил.
Возможны три типа движения:
(9.1.58)
цЦ / //
-^- = aq-ap - ay .
da"
1(V + Bq2 + О2) + | со2 (Лу2 + By'2 + Су"2) -
-сй(Л/>р + В?р' + Ор") = А. (9.1.59)
Г = Го = const.
(9.1.60)
Р = Y = 0, <7 = co,
(9.1.61)
у Bft2 + 4"2M-c)sin2fl = A> (9.1.62)
2А ^ п •> А - ^
1) - > Зог-д------------ротационное,
2/z А.__С
2) -д- = Зсо2 --g---------лимитационное (предельное),
3) -^ < Зш2-- д-- - либрационное.
766 Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС [5 1.05
Из этих трех типов лимитационное движение является исключительным, так
как оно разделяет два других типа движения. На фазовой плоскости ft, ft
ему соответствует сепаратриса. Либрационное движение описывается формулой
sinft = fcsn[<r(f - /0), Л], (9.1.63)
в которой модуль эллиптического интеграла равен
2 hD
3mJ (Л - С) '
З(Л-С)
(9.1.65)
Период колебаний спутника равен
о
В случае малых колебаний
(tm) 2 я
Т " -
о
Г = 4*(*)- (9.1.66)
(9.1.67)
Если орбита центра масс эллиптическая, то дифференциальное уравнение
движения спутника относительно центра масс будет иметь вид
(1 + ecos v) - 2esin + -у- sin 2ft = 2e sin v, (9.1.68)
где n2 = 3(A - C)/B, e - эксцентриситет орбиты, a v - истинная аномалия
центра масс спутника.
Полагая
ft = T-r-?-----. (9.1.69)
1 + е cos v 4
вместо (9.1.68) получаем следующее уравнение Хилла:
// I в COS V п ' /а " pj/\\
z +-7-г----------------------------------z = 2esmv. (9.1.70)
1 ) + е cos о ' '
Принимая теперь за независимую переменную эксцентрическую аномалию Е,
приходим к уравнению
(1 - ecos Е) -j- + е sin Е + 3 А ~ - sin ft cos ft =
= 2яае sin Е, (9.1.71)
в котором [х - гравитационный параметр притягивающего центра, а р -
фокальный параметр орбиты.
S 1.05]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
76?
Либрационные движения спутника подразделяются на нерезонансные и
резонансные. Последние исследованы В. В. Белецким [10], В. Г. Деминым и
Р. Б. Сингхом [17]. В работе [17] показано существование резонансов при
n2 = -^k2 для любых
целых значений k.
Малые пространственные колебания спутника в случае круговой орбиты
описываются уравнениями
у' + 4а2 а' + со2
В - С
В-А
а" + 3ш2 а" = 0,
'+4^-0*'=°.
a' + a>(l - В ё Л ) V = °-
(9.1.72)
Свойства пространственных колебаний определяются корнями
характеристического уравнения
(Я2 + п2)(Я4 + а,Я2 + а2) = 0, (9.1.73)
в котором
А-С
п2 = 3а2 в ,
,Г, , о В-С , В-A В-С-\ = L А 1 С-----А~\'
а2 = 4а2
В-С В-А
(9.1.74)
Малые пространственные колебания на эллиптической орбите описываются
следующей системой дифференциальных уравнений:
(1 + е cos v) + [е cos v + (4 + е cos и)] у -
d2a
- (1 + е cos v) а2 + е sin v • а3а = О,
(1 + е cos ц) + [е cos v + bx (1 + е cos ц)] а +
+ b2 (1 + е cos а) - е sin v • b3y = 0, В-С _ А+С-В - В-С+А
где
а, = -
а2:
(9.1.75)
768
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
IS 1.06
§ 1.06. Задача о поступательно-вращательном движении двух гравитирующих
динамически 'симметричных тел
Рассмотрим движение двух взаимно притягивающих абсолютно твердых тел Мх и
М2, обладающих осями динамической симметрии. Движение тел будем относить
к системе координат 0\XYZ с началом в центре масс тела М\ и с
фиксированными направлениями координатных осей.
Относительное движение центра масс тела будем определять в канонических
элементах Делоне L, G, Н, I, g, h (см. формулы
(4.3.21)). Движение тел М,- относительно их центров масс зададим
каноническими переменными Андуайе (см. § 1.02) Li, Gi, Ни h, gi, Ы (i =
1, 2).
Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения тел в
этих переменных имеют гамильтонову форму [14]:
dL dF dl dF
dt di ' dt dL
dG dF dg dF
dt dg ' dt dG
dH dF dh dF
dt dh ' dt dH
dLt OF dh dF
dt dh ' dt dh
dGt dF dgt dF
dt dgt ' dt 1 1
dH i dF dhi dF
dt dhi ' dt dfi i
(i=l,2).
Гамильтониан F дается формулой
)+?/-?/", (9.1.77)
( = 1 Л
причем
и-U о = -gf (2^2 + С2 - 3/2) + ^ (2 Л, + С, - 3/,), (9.1.78)
где момент инерции Ji относительно прямой 0]02 определяется соотношением
/, *= Л,- (а? + р?) + CiY? (i = 1, 2), (9.1.79)
в котором через а,-, Pi, уi обозначены косинусы углов, образуемых прямой
O1O2 с главными центральными осями инерции тел
/2 т\т% 1 yi ( Gi . At Сг 2
