Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
к нему же обращается А. Депри [11].
Последний вводит новые переменные следующим образом (см. рис. 104).
Рассмотрим систему координат OXYZ и Oxyz.
S 1.031 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 759
Линию узлов плоскостей OXY и Оху обозначим через ON. Введем углы Эйлера
Ф= ^ XN, r|i=kjNx, •&= Z YNH. (9.1.30)
Построим неизменяемую плоскость Лапласа, проходящую через точку О и
пересекающую плоскости Оху и OXY соответственно по прямым ОН и ON'. Пусть
далее
h - /L XON', g = Z. N'OH, / = Z HOx, (9.1.31)
a / - угол между плоскостями ON'H и OXY, b - угол между плоскостями Оху и
ON'H. Положим
Я = Geos/, L = Gcos6, (9.1.32)
где G - момент количеств движения тела.
Величины L, G, Н, I, g, h являются сопряженными каноническими
переменными, причем старые канонические переменные связаны с новыми
соотношениями
P<t = (^Р sin + Bq cos i|>) sin ft + Cr cos ft = H,
p-a = Л/jcos -ф - Bq sin -ф = G sin 6 sin (I - -ф), ? (9.1.33)
P$ - Cr = L, J
а компоненты момента количеств движения равны
Ар= G sin 6 sin I, Bq = G sin b cos I, Cr = L. (9.1.34)
Гамильтониан задачи в этих переменных запишется следующим
образом:
^ = т(-1т1 + т)(с2- + е, A, L, G, Н).
(9.1.35)
где U - силовая функция.
Гамильтонова система уравнений движения имеет вид
dL __ дК dG _ дК dH __________ дК 1
df dt dg- dt ah' (9 л 36)
dg __ dK - I
dt ~ dL ' dt ~ dG ' dt ~~ dH ' j
§ 1.03. Астродинамические дифференциальные уравнения возмущенного
движения спутника относительно центра масс
При рассмотрении задач динамики космического полета получили
распространение более громоздкие, неканонические системы дифференциальных
уравнений вращательного движения спутника в оскулирующих элементах.
Некоторые из них можно найти в монографии В. В. Белецкого [10].
760
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
[§ 1.03
Дифференциальные уравнения движения записываются в "перигейной" системе
координат OXYZ, ось аппликат Z которой коллинеарна радиусу-вектору
перигея орбиты, ось ординат Y нормальна плоскости орбиты, а ось абсцисс X
имеет тангенциальное направление (в сторону движения спутника). Для
случая спутника, обладающего осевой динамической симметрией А - В,
уравнения движения были указаны В. В. Белецким [10]. Они имеют следующий
вид: dG
-fi- = (Мх sin а + Mz cos a) cos р + My sin p,
= -jj [(Mx sin a + My cos a) cos p - My sin p],
¦Д7-= ~r~~--(M^ cos a - My sin ct), dt G sm p 4 л ' '*
^ {- Mx [ctg ¦fl' (cos a sin if + sin a cos if cos p) +
+ ctg p cos 0] + My sin p ctg ft cos if +
-f Mz [ctgft (sin a sin if - cos a cos p cos if) -f ctg p sin a]},
JjL = r - ifcosft -
- ct(- sin i)> sin ft sin p -f cos ft cos p) -f pcos -ф sin ft,
~ = ^[Mxa3 + MY^ + Mzy3],
(9.1.37)
где Cr-G cos ft, а направляющие косинусы a3, fo, y3 суть a3=sin if
sinftcos psin a-cos if sinftcos a+cosft sinp sin ct, j Рз = - sin if sin
ft sin p + cos ft cos p, f (9.1.38)
y3=sin if sin ft cospcosa+cosif sin ft sin ст+cosft sin p cos ст. J
В уравнениях (9.1.37)-1 (9.1.38) использованы следующие обозначения: G -
модуль момента количеств движения спутника относительно его центра
инерции, р - угол между моментом количеств движения и осью ординат
перигейной системы, а- угол между осью аппликат и проекцией момента
количеств движения на плоскость OXZ, Мх, Му, Mz - проекции главного
момента внешних сил на оси перигейной системы координат, Ф, if, ft - углы
Эйлера, вводимые стандартным для теоретической механики образом *).
*) Переменные Белецкого связаны с переменными Апдуане - Депрц
Соотношениями I = ш, g = я|> - ^7, й == ст + , b = Ь, / = р.
s 1.031
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
761
Если приложенные силы обладают силовой функцией
U = U(a3, Рз, уз. у).
где v - истинная аномалия центра инерции спутника, то система (9.1.37)
принимает следующую форму:
dG dU
dt aij) '
dp 1
dt G sin p
da 1
( dU dU\
UrC0SP-id-
dU
dt G sin р dp '
= _________L (JHL с^е р ctg ft')
dt A G Up ClgPt W Clg v) '
dr ___" dft ________ ctg ft dU
dt
(9.1.39)
' dt G dijj Эта система допускает первый интеграл
r = r0 = const.
с ди п
Если -щ- - 0, то имеет место интеграл живых сил
G2-2AU = const.
(9.1.40)
(9.1.41)
В случае движения спутника по круговой орбите с постоянной угловой
скоростью соо уравнения движения допускают интеграл Якоби
G2 - 2AU - 2AaaG cos р = const. (9.1.42)
В общем случае трехосного центрального эллипсоида инерции спутника
дифференциальные уравнения движения были даны Ф. J1. Черноусько и имеют
вид [15]
dG dt da dt
-м={Мх sin a + Mz cos a)cos a + M^sinp = M3,
1 ,W ... W ... \ M,
- Ш" cos cr - My sin cr) == -,
G sin p 4 л c 7 G sin p '
1
= Wx sin a + Mz cos cr) cos p - MY sin p = ,
dft ( 1 I \ n . " ¦ , M, cos ib - Mi sin ih
-ft = {-J - -j) G Sin ft Sin ф COS ф -1------------------------г---------
------i-----^ ,
dtp "( 1 sin2 ф cos2 ф^ Л , Afjcojrti + Af2siniti = Glc------------------
---A--------------3-Jcosft +-----------------------------------------
dt
G sin ft
cos^^ __ Mi cos i[) + M2 sin -ф ctg ^_^2ctgp Эти уравнения образуют
