Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
dt
dF
dt
- Gn2 = M,
(9.1.91)
где п - постоянная угловая скорость вращения планеты вокруг оси
динамической симметрии, a L, М - моменты внешних сил. Согласно Ляву [19]
приближенно будем иметь
F = - $nq, G- - $пр, (9.1.92)
где р - постоянная, зависящая от упругих свойств планеты, ее размеров и
распределения плотности.
Период вращения планеты Т вследствие упругих деформаций удлиняется на
величину
ДГ
2лр пг ~ (С- АУ
(9.1.93)
§ 1.09. Теория фигур небесных тел
Теория фигур равновесия небесных тел состоит в изучении формы, которую
принимает жидкость, частицы которой взаимно притягиваются по
ньютоновскому закону при отсутствии внешних сил.
§ 1.09]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Основной вклад в эту теорию был сделан И. Ньютоном, Клеро, Лежандром,
Лапласом, Маклореном, Якоби, А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым.
Последовательное изложение можно найти в работах [20] - [26]. Приложения
теории фигур планет в гравиметрии даются в книге Н. П. Грушинского [27],
а звезднодинамические аспекты обсуждаются в монографии К. Ф. Огородникова
[28].
Фигуры равновесия небесных тел изучаются на основе уравнений
деформируемого тела (см. § 1.08), динамических уравнений Эйлера и
гидродинамических уравнений. Последние имеют вид
1 др dV . .
И Ж ~~ 17 + (r)"г~
- (Ох ((ОхХ -f- ЮуУ + cozz) + JCC02,
1 др dV . .
----г- = -5-----h - (ОгХ -
х ду ду 1 х г
- (0У (сохх + (ОуУ + агг) + z/co2,
1 др dV . .
(9.1.94)
х дг
дг
ч>ху
- шг (со** + ч>уу + сог2) + ZCD2,
где p(x,y,z)-давление жидкости в текущей точке, V - циал сил притяжения,
x(x,y,z)- плотность, ш*, шг -
ненты мгновенной угловой скорости.
Теорема Пуанкаре. Единственно возможным нием жидкости, при котором она
находится в состоянии тельного равновесия, является перманентное вращение
ее одной из главных центральных осей инерции.
Если со = {со*, Шу, Qz}, то, направляя ось аппликат вектора со, приведем
уравнения (9.1.94) к форме
1 др _dW ¦я дх дх '
1 др dW к ду ду '
1 др _ dW х дг дг '
где
W = V+^-(x2 + y>),
потен-
компо-
движе-
относи-
вокруг
вдоль
(9.1.95)
(9.1.96)
V - потенциал силы тяжести.
Теорема. Если изолированная идеальная жидкость находится в состоянии
относительного равновесия, то ее эквипотенциальные (уровенные)
поверхности одновременно являются
774
Ч. IX. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МЛСС
f§ 1.09
поверхностями изобарическими (равного давления) и изостери-ческими
(равной плотности).
Следствие. Жидкая масса, находящаяся в состоянии относительного
равновесия, ограничена уровенной поверхностью.
Если жидкость однородна и несжимаема, то уровенная поверхность
удовлетворяет уравнению Вавра
в котором S - поверхность, ограничивающая жидкость, ds = = {dx, dy, dz},
da - элемент поверхности, n - внешняя нормаль.
Теорема Лихтенштейна. Фигура относительного равновесия однородной
вращающейся жидкости обладает плоскостью симметрии (экватором), которая
проходит через ее центр инерции и перпендикулярна к оси вращения.
Следствие. Единственной фигурой равновесия невращающей-ся однородной
жидкости является сфера.
Приводимые ниже теоремы накладывают ограничения на угловую скорость
вращения жидкости, находящейся в состоянии относительного равновесия.
Теорема Пуанкаре. Относительное равновесие жидкости может иметь место
только при угловых скоростях ее вращения, не превосходящих л/2nfx.
Теорема Крудели. Если жидкость, находящаяся в состоянии относительного
равновесия, ограничена выпуклой поверхностью, то ее угловая скорость не
может превосходить^nfx.
Рядом авторов при различных постановках задачи изучены различные типы
фигур равновесия вращающихся жидких масс. Из них наиболее важные
астрономические, гравиметрические и геодезические приложения имеют
эллипсоидальные фигуры равновесия.
Условие, при котором эллипсоид
(9.1.98)
с постоянной плотностью
4 Jtabc
(9.1.99)
является фигурой равновесия, сводится к уравнению
$ 1.09] ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 773
В этом уравнении использованы обозначения
" = (¦?)'• (в.1.101)
причем через s обозначена переменная, удовлетворяющая уравнению
^7 + -р$7+7ГТ7=1- (9.1Л02)
Уравнение (9.1.100) допускает два типа эллипсоидальных фигур равновесия:
1) и = у - эллипсоиды Макларена,
оо
2) и фи, ^ (1 - и - v - uvt) -j- = 0 - эллипсоиды Якоби.
о
(9.1.103)
Существуют два типа эллипсоидов Маклорена: сплюснутые и дискообразные.
В зависимости от величины угловой скорости, точнее, значений параметра й,
имеют место следующие случаи:
1) 0^^^0,1871-два эллипсоида Маклорена и один эллипсоид Якоби;
2) 0,1871 ^ й < 0,2247 - два эллипсоида Маклорена;
3) Q = 0,2247 - один эллипсоид Маклорена;
4) й > 0,2247 ни одного равновесного эллипсоида.
Из теорем теории фигур равновесия вращающихся жидких масс вытекают
некоторые важные гравиметрические результаты. Ниже приводится ряд
соответствующих теорем и формул.
Теорема Стокса. Если вращающаяся жидкая масса находится в состоянии
относительного равновесия, то сила тяжести на ее поверхности и вне ее
однозначно определяется заданием массы жидкости, угловой скорости ее
