Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Пусть poi qo, "о - элементы начальной эллиптической орбиты, рп, qn, Шп -
элементы орбиты назначения, рь, qh, ш-элементы k-vi промежуточной орбиты,
вызванной ft-м импульсом, приложенным в точке (Sh, Uh) ..., п).
'736 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 4.07
Тогда полное приращение скорости космического аппарата в результате
маневра в целом выражается соотношением
к=1
где
xk = S* (Vpa - VPk-1 ) sec
Фа*
(8.4.28)
(8.4.29)
Функция W зависит от Зп - З переменных (pit qu шь рп-ь <7п-ь (On-1) I так
как р0, q0, ш0, рп, qn, соп считаются известными.
Необходимые условия существования экстремума функции W, очевидно, имеют
вид
dW
дРк
dW
dW
dqk
да.
= 0 (k = 1, 2...............л - 1). (8.4.30)
Присоединение к системе (8.4.30), состоящей из Зп - З уравнений, еще 4п -
4 уравнений типа (8.4.27)
Як-i cos (ик " "ft-1) = - РГ-p
qk-i sin (u*
- (r)a-i) = (s* -
V^'oPa-i sin Ф* Як COS == Sk Pft *,
)
tg <Pft.
qksm{uk - G>k) = [sk
6
r,'*)
-у/fm0pk sin .
(* = I, 2...........n - 1)
^Ф*
(8.4.31)
позволяет написать совместную систему, состоящую из 7п - 7 уравнений и
содержащую 7п - 7 неизвестных рь, qk, ыь, sk, uk, vf\ <pft. Решение этой
общей системы дает параметры всех промежуточных орбит, координаты точек
приложения импульсов (Sk, ик), компоненты скорости и направления
импульсов ерь.
Эти результаты получены Лоуденом [12] в предположении, что число
импульсов п задано. Более общая задача (когда п также неизвестно)
рассматривалась в работах [80]-[82].
Одноимпульсный переход с одной орбиты на другую возможен лишь тогда,
когда орбиты пересекаются, причем оптимальной задачи не возникает, так
как в этом случае величина импульса однозначно определяется элементами
первоначальной орбиты и орбиты назначения.
§4, 08]
ГЛ. 4. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
737
Решение уравнений (8.4.30) и (8.4.31) для двухимпульсного маневра в общем
случае неизвестно, но для ряда частных случаев оно получено. В частности,
получено аналитическое решение задачи об оптимальном повороте оси орбиты
[12].
§ 4.08. Оптимальный переход между двумя компланарными круговыми орбитами
Если минимизируется количество топлива, то согласно § 4.05 орбитами
перехода являются эллипсы с совпадающими боль-шими осями. Эти эллипсы
соприкасаются друг с другом и с круговыми орбитами в своих апсидальных
точках (здесь круговые орбиты - это орбиты старта и назначения). Анализ
такого класса орбит перехода был впервые сделан Гоманом [83], и по этой
м
Рис. 86. Трехимпульснря орбита перехода,
ABC и CD?-два гояаНозских полуэллипса;
А, С, ? -точки соединения.
причине они называются гомановскими эллипсами. Очевидно, что если
последним участком оптимальной траектории является не сам гомановский
эллипс, а круговая орбита, то минимальное количество импульсов равно
двум.
Хелькер и Зильбер показали [81], что при rejrx> 15,6 (re - радиус внешней
круговой орбиты, /ч- радиус внутренней круговой орбиты) оптимальных
маневров не существует, т. е. соответствующая вариационная задача не
имеет решения. Они же показали, что существуют трехимпульсные переходы,
более выгодные с точки зрения расхода топлива (рис. 86). Вопрос об
оптимальном переходе между почти круговыми орбитами рассматривался
многими авторами и, в частности, Лоуденом [20], [84] и Смитом [85].
24 Под ред. Г, Н. Дубошина
738 4. Vtlt. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ
[§ 4.10
§ 4.09. Оптимальный переход между двумя соосными орбитами
Как показали Смит [85] и Плиммер [86], уравнения (8.4.30) и
(8.4.31) могут быть решены в случае двухимпульсного перехода,
Рис. 87. Оптимальный переход между со- Рис. 88. Оптимальный переход
между со
осными орбитами. /, II - орбиты пешехода; осными орбитами. /( II -
орбиты перехода;
А, В-точки соединения для орбиты /; А, В- точки соединения для орбиты
/;
С, D - течки соединения для орбиты II* С, D - точки соединения
для орбиты II,
I
Рис. 89. Оптимальный переход между со- Рис. 90. Оптимальный переход
между соосными орбитами. I, II - орбиты перехода; осными орбитами. I,
II-орбиты перехода;
А, В-точки соединения для орбиты /; А, В - точки соединения для
орбиты /;
С, D - точки соединения для орбиты //. С, D -точки соединения для
орбиты II.
если toi = Ш2 или toi = о)2 + л. Анализ этого решения показывает, что
возможны оптимальные переходы, изображенные на рис. 87-90.
§ 4.10. Другие траектории перелета
в случае компланарных орбит планет старта и назначения
В §§ 4.07-4.09 приведены некоторые оптимальные (с точки зрения расхода
топлива) траектории перелета. Достаточно полная классификация траекторий
перелета с круговой орбиты на другую компланарную круговую орбиту дана К.
Эрике [88]. Укажем также на книгу [90] П. Эскобала, содержащую
приближенный аналитический метод построения межпланетных траекторий. В
его основу положен метод сфер действия, названный
S 4.10]
ГЛ. 4. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
739
Эскобалом "методом кусочно-невозмущенных орбит". Этот метод нашел
