Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
3. Формулировка задачи. В классе функций H(t), v(t), M(t), m(t), a(t),
удовлетворяющих уравнениям (8.3.37), (8.3.17) и граничным условиям
(8.3.38), найти такую систему функций, которая максимизирует функционал
L = Як - Н0, (8.3.39)
где Н^ -наибольшая (конечная) высота-
j (8.3.38)
720 ч- Vin. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 3.06
Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи равна f = - р (-g + -
A v чт + \i[m {т - т) - а2], (8.3.40)
а уравнения Эйлера - Лагранжа (8.3.20) принимают вид
dp ___ . dA _dv . cm
~dt - * ~df ' dt~~WP'
0 = v - p ¦--[- |х(ш - 2ш), 0 = - 2fj.cc.
(8.3.41)
Анализ уравненнй (8.3.41), выполненный Миеле [55], [64], Лоуденом [20],
Лейтманом [65], показывает, что оптимальная траектория состоит лишь из
участков нулевой тяги и участков максимальной тягн, причем на оптимальной
траектории имеется только одна угловая точка, т. е. оптималь состоит из
двух участков (участка максимальной тяги и участка нулевой тяги). Для
данной задачи легко находится также функция переключения величины тяги
x(t) [12].
Из уравнений (8.3.41) вытекает, что одномерный базис-вектор р является
линейной функцией времени.
§ 3.06. Максимизация горизонтальной дальности
полета ракеты в однородном поле тяжести
при заданной программе расхода топлива
Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях:
а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно, g -
const;
б) сопротивление атмосферы отсутствует;
в) программа расхода топлива ст/М - заданная функция времени f (/);
г) вектор тяги Т(ТХ,ТУ) всегда лежит в вертикальной плоскости Оху,
проходящей через точку запуска О;
д) двигатель работает при 0 ^ ^ t\, после чего выключается и ракета
дальше движется под действием силы тяжести;
е) скорость истечения продуктов сгорания с постоянна.
Формулировка задачи. Требуется найти функцию 0(/),
управляющую ориентацией силы тяги, обеспечивающую максимальную
горизонтальную дальность ракеты L = OB (рис. 81).
Движение ракеты описывается системой уравнений
= I
И и [ (8-3-42)
-^- = /(0cos0(0, -|- = /(0sin(c)(0-g. j
§ 3.06] ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 721
Кроме того, заданы начальные условия:
Рис. 81. Оптимальная траектория перелета. ОЛ -активный участок полета; А
- точка выключения двигателей; 6* - оптимальная управляющая функция.
Рассматривая (8.3.42) как уравнения связи, можно сделать вывод, что
данная вариационная задача является задачей Майера. Функция Лагранжа
(8.3.19) имеет вид
где ии Vi - проекции скорости ракеты в точке А выключения двигателя (рис.
82). Из (8.3.44) следует, что максимальная дальность достигается при
постоянном 0 = 0*, независимо от заданной программы расхода топлива /(/),
так как последняя не входит в (8.3.44).
Чтобы решить уравнения движения (8.3.42) и определить однозначно Lmах,
нужно задать конкретный вид функции /(/).
Лоуденом показано [20], [66], что при f = const и = const
при / = 0 x = y = u = v = 0.
При t = t\ никаких условий не наложено.
у j
о
F= - pxf cos 0-ру {f sin 0-g)-
Исследуя обобщенные уравнения Эйлера - Лагранжа с функцией (8.3.43),
Лоуден показал [2], что управляющая функция 0(/) (угол наклона вектора
тяги к горизонту) находится из условия
- Ахи - Ayv. (8.3.43)
О
tg0 =---------^------- (8.3.44)
Рис. 82. Полет ракеты в однородном поле тяжести. ЛВ -касательная к
траектории в точке Л.
Z-max = ft* (у Ctg 0 - j COS (c)) .
(8.3.45)
722
Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 3.07
§ 3.07. Общая вариационная задача
для движения ракеты в однородном поле тяжести
Исследуется движение ракеты при допущениях а), б), г), д) и е) § 3.06.
Тогда система уравнений движения ракеты вместе с условием (8.3.17) имеет
вид
dy
dx
~dt
du
dt ~u' dt ~v>
cm
dt
do
M
cm
dt
dM
M
COS0,
sin0 -
dt
(8.3.46)
Формулировка задачи. В классе функций x(t), y(t), u(t), v(t), M(t), m(t),
a{t), 0(f), удовлетворяющих уравнениям (8.3.46) и некоторым граничным
условиям (число граничных условий не должно превышать 12), найти систему
функций, минимизирующую некоторый функционал L - L(t, х, у, и, v, М).
Заметим, что среди искомых функций m(t) определяет программу расхода
топлива, а 0(f)-программу ориентации вектора тяги.
Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи имеет вид
F =
cm п Рх~м COS0
Ру (itr sin 0 - g) - Ахи - Ayv +
-f vm + ц [m (th - m) - a2], (8.3.47)
а соответствующие обобщенные уравнения Эйлера - Лагранжа
(8.3.20) принимают форму
dpx
dt
dA-x
~dt
= - Л.
dPy
= 0,
dt
dAy
dt
-A
У'
= 0,
dv cm . " . ¦ a\
- -JjT (Px COS 0 + Py sin 0),
(8.3.48)
0 - - (Px cos 0 -f py sin 0) -f v -f [x (m - 2m),
0 = - 2ца, O = pxsin0-Py cos 0.
Анализ уравнений (8.3.48), выполненный различными авторами [12], [56]-
[58], [66], [67], позволяет сделать следующие выводы:
$ 3.08| ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 723
1) дуги экстремалей, проходимые при промежуточной тяге, отсутствуют;
2) угол 0(0, определяющий направление вектора тяги относительно оси
