Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
у*{х) необходимо существование ненулевой непрерывной и дифференцируемой
(я + 1) -мерной вектор-функции tJj (лс) = (т^о (л:) , тр! (лс).-фп(х)),
компоненты которой
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
fe=0 '
(8.1.39)
(г = 0, 1, 2.....п), хо^х^х^
Кроме того, она должна быть такой, что функция
П
Я(Ф, У, и) - Ц (у, и),
ft=0
рассматриваемая как функция u^U, достигает при и -и* максимума.
При х = хх
¦Фо (*i) <0, X (де) fk (У* (*i), и* (*i)) = 0.
ft=0
Если "ф(дс), у(х), и(х) удовлетворяют системам (8.1.35) и
П
(8.1.39), то функции фо и X Фа/*, рассматриваемые как функ-
ft=0
ции х, являются постоянными и значение Х\ можно заменить любым другим.
Чаще всего целесообразно в качестве множества управляющих функций U
рассматривать m-мерный (открытый или замк-нутый) параллелепипед
|и*|<1 (s=l, 2.....m).
Если К|< 1, то принцип максимума совпадает с необходимым условием
Вейерштрасса [2], если же |и8|^1, то классическое условие Вейерштрасса
становится непригодным.
Существует большое число работ, посвященных различным 'аспектам принципа
максимума. Среди них основополагающими являются монографии [37], [38].
23 Под ред. Г, Н. Дубошина
706 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 1.10
§ 1.10. Принцип оптимальности Беллмана
Пусть состояние некоторой физической системы определяется n-мерным
фазовым вектором.у. Пусть, кроме того, имеется семейство преобразований
{Т(у, и)} с переменным вектором (решением) и, играющим роль параметра и
переводящим вектор у в вектор г:
г = Т{у, и).
Процесс, состоящий из выбора N решений ии и2..............uN,
назовем N-шаговым процессом.
Свяжем с JV-шаговым процессом некоторую скалярную функцию
F{y 1. У2....Ун', "I. "2....."ai).
называемую критерием или функцией дохода.
Последовательность допустимых решений щ, и2, и3, ..., ulV называется
политикой (стратегией). Политика, обеспечивающая максимальное значение
функции дохода F, называется оптимальной политикой или оптимальной
стратегией.
Имеет место
принцип оптимальности [44]. Оптимальная стратегия обладает тем свойством,
что каковы бы ни были начальное состояние и принятое начальное решение,
последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно
состояния, возникшего в результате первоначального решения.
Из этого принципа выводятся основные уравнения динамического
программирования (уравнения Беллмана), которые могут рассматриваться как
некоторые рекуррентные соотношения, описывающие многошаговую оптимизацию
в предельном случае при неограниченном возрастании числа шагов. Уравнения
Беллмана являются функциональными уравнениями и им можно придать
различный вид.
Например, если рассматривается задача о максимизации функционала
X,
L[u]= ^ F(y, u)dx
Хо
при ограничениях
~|- = G(y, и), у(х0) = с, 0<i
то, как показано в [44], решение этой задачи сводится к решению
функционального уравнения
-§?-= sup [F(c, u) + G(c, ")-§?-]. (8.1.40)
axl 0<ii<cL OC J
где f(c,xi) - "функция дохода на бесконечном числе шагов" в терминологии
Беллмана [44].
Глава 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
В этой главе приводятся основные сведения из механики переменной массы.
Подробности вывода соответствующих уравнений можно найти в [46]-[50].
§ 2.01. Основное уравнение динамики точки
переменной массы (уравнение Мещерского)
Пусть масса М некоторого тела (рассматриваемого как материальная точка)
изменяется в результате отделения от него частиц.
Если движение точки переменной массы происходит в силовом поле F, то
уравнение ее движения в векторной форме имеет
где v - скорость точки в некоторой неподвижной системе координат Oxyz, Vi
- относительная скорость отделяющихся частиц, .Mi - суммарная масса
отделяющихся частиц.
Уравнение (8.2.01) называется уравнением И. В. Мещерского.
Если вместо относительной скорости Vi ввести абсолютную скорость
отделяющихся частиц
вид [46], [47]
(8.2.01)
"1 = ^+0,
(8.2.02)
то уравнению Мещерского можно придать вид
(8.2.03)
В некоторых задачах считается, что Af! = М.
23*
708 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [$ 2.02
В координатной форме уравнения Мещерского записываются следующим образом:
где х, у, z - координаты материальной точки в неподвижной системе
координат Oxyz, щх, и1у, ии- компоненты абсолютной скорости отделяющихся
частиц, X, Y, Z - компоненты равнодействующей F внешних сил.
§ 2.02. Обобщенное уравнение Мещерского
Пусть наряду с отделением частиц происходит присоединение частиц к точке
переменной массы. Тогда уравнение движения в векторной записи имеет вид
где V2- относительная скорость присоединяющихся частиц, М2- суммарная
масса присоединяющихся частиц.
Уравнение (8.2.05) может быть названо обобщенным уравнением Мещерского
[46].
Другие формы записи уравнения (8.2.05):
Абсолютная скорость присоединяющихся частиц а2 = = (и2х, и2у, u2z) в
системе координат Oxyz определяется векторным равенством
Читателю, интересующемуся выводом уравнений Мещерского, рекомендуем книгу
